Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.

Матричный метод решения - метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A -1 · B , где A -1 - обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B , где A - основная матрица системы, B и X - столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A -1 - матрицу, обратную к матрице A : A -1 (AX ) = A -1 B

Так как A -1 A = E , получаем X = A -1 B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A : detA ≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0 , действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений .

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
4. Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , ..., x n :

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n .

В соответствии с правилом умножения матрицрассмотренная система линейных уравнений может быть записана вматричной форме Ax=b , где

Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы . Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы . Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы .

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b , является матричным уравнением .

Если матрица системы невырождена , то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A -1 b .

Пример Решить систему матричным методом.

Решение найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов системы

Вычислим определитель, раскладывая по первой строке:

Поскольку Δ ≠ 0 , то A -1 существует.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем решение системы

Следовательно, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Проверка:

7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных уравнений имеет вид:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Здесь а i j и b i (i = ; j = ) - заданные, а x j - неизвестные действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно переписать систему (5.1) в виде:

где A = (а i j) - матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных системы (5.1), которая называется матрицей системы , X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - векторы-столбцы, составленные соответственно из неизвестных x j и из свободных членов b i .

Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих чисел вместо соответствующих переменных x 1 , x 2 ,..., x n каждое уравнение системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если существует вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такой, что AC  B.

Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или неразрешимой , если она не имеет решений.

,

образованная путем приписывания справа к матрице A столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Вопрос о совместности системы (5.1) решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) = r.

Для множества М решений системы (5.1) имеются три возможности:

1) M =  (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной );

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной ). В третьем случае система (5.1) имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда r(A) = n. При этом число уравнений - не меньше числа неизвестных (mn); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

Для решения произвольной системы линейных уравнений нужно уметь решать системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных, - так называемые системы крамеровского типа :

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системы (5.3) решаются одним из следующих способов: 1) методом Гаусса, или методом исключения неизвестных; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.

Пример 2.12 . Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

 .

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу = 7  0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы A рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r(A) = 3. Поскольку r(A)  r(A), то система несовместна.

11. Выражение скалярного произведения вектора через координаты сомножителей. Теорема.

12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

15. Способы задания прямой на плоскости.

16. Нормальное уравнение прямой на плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

17. Уравнение прямой на плоскости в отрезках (вывод).

Приведение общего уравнения плоскости к уравнению плоскости в отрезках.

18. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом (вывод).

19. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (вывод).

20. Угол между прямыми на плоскости (вывод).

21. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

22. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости (вывод).

23. Уравнение плоскости. Нормальное уравнение плоскости (вывод). Геометрический смысл коэффициентов.

24. Уравнение плоскости в отрезках (вывод).

25. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (вывод).

26. Угол между плоскостями (вывод).

27. Расстояние от точки до плоскости (вывод).

28. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей (вывод).

29. Уравнения прямой в r3. Уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки (вывод).

30. Канонические уравнения прямой в пространстве (вывод).

Составление канонических уравнений прямой в пространстве.

Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.

Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.

31. Угол между прямыми (вывод).

32. Расстояние от точки до прямой на плоскости (вывод).

Расстояние от точки до прямой на плоскости – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Второй способ, позволяющий найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.

Первый способ нахождения расстояния от точки до прямойaв пространстве.

Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямойaв пространстве.

33. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

34. Взаимное расположение прямых в пространстве и прямой с плоскостью.

35. Классическое уравнение эллипса (вывод) и его построение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид, где– положительные действительные числа, причём.Как построить эллипс?

36. Классическое уравнение гиперболы (вывод) и его построение. Асимптоты.

37. Каноническое уравнение параболы (вывод) и построение.

38. Функция. Основные определения. Графики основных элементарных функций.

39. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

40. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теорема о связи между ними, свойства.

41. Теоремы о действиях над переменными величинами, имеющими конечные пределы.

42. Число e.

Содержание

Способы определения

Свойства

История

Приближения

43. Определение предела функции. Раскрытие неопределённостей.

44. Замечательные пределы, их вывод. Эквивалентные бесконечно малые величины.

Содержание

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы

Левый и правый пределы функции

Точка разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Точка устранимого разрыва

46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.

47. Теоремы о производной обратной, сложной функций.

48. Производные простейших элементарных функций.

49. Дифференцирование параметрических, неявных и степенно-показательных функций.

21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

21.1. Неявно заданная функция

21.2. Функция, заданная параметрически

50. Производные высших порядков. Формула Тейлора.

51. Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

52. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

53. Теорема о необходимом и достаточном условиях монотонности функции.

54. Определение максимума, минимума функции. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования экстремума функции.

Теорема (необходимое условие экстремума)

55. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Теоремы о необходимом и достаточном условиях существования точек перегиба.

Доказательство

57. Определители n-ого порядка, их свойства.

58. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.

Определение

Связанные определения

Свойства

Линейное преобразование и ранг матрицы

59. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

60. Системы линейных уравнений. Матричное решение систем линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

Решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры.

Определения, понятия, обозначения.

Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Теорема Кронекера – Капелли.

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида.

Запись общего решения однородных и неоднородных систем линейных алгебраических с помощью векторов фундаментальной системы решений.

Решение систем уравнений, сводящихся к слау.

Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть система линейных алгебраических уравнений задана в матричной форме , где матрицаA имеет размерностьn наn и ее определитель отличен от нуля.

Так как , то матрицаА – обратима, то есть, существует обратная матрица. Если умножить обе части равенстванаслева, то получим формулу для нахождения матрицы-столбца неизвестных переменных. Так мы получили решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

матричным методом.

Перепишем систему уравнений в матричной форме:

Так как то СЛАУ можно решать матричным методом. С помощью обратной матрицы решение этой системы может быть найдено как.

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений элементов матрицыА (при необходимости смотрите статьюметоды нахождения обратной матрицы):

Осталось вычислить - матрицу неизвестных переменных, умножив обратную матрицуна матрицу-столбец свободных членов(при необходимости смотрите статьюоперации над матрицами):

или в другой записи x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Основная проблема при нахождении решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом заключается в трудоемкости нахождения обратной матрицы, особенно для квадратных матриц порядка выше третьего.

Более подробное описание теории и дополнительные примеры смотрите в статье матричный метод решения систем линейных уравнений.

К началу страницы

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть нам требуется найти решение системы из n линейных уравнений сn неизвестными переменнымиопределитель основной матрицы которой отличен от нуля.

Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключаетсяx 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключаетсяx 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменнаяx n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называетсяпрямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляетсяx n-1 , и так далее, из первого уравнения находитсяx 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называетсяобратным ходом метода Гаусса .

Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменнуюx 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на, к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на, и так далее, кn-ому уравнению прибавим первое, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменнаяx 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на, и так далее, кn-ому уравнению прибавим второе, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а. Таким образом, переменнаяx 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как, с помощью полученного значенияx n находимx n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находимx 1 из первого уравнения.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

Исключим неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнения системы. Для этого к обеим частям второго и третьего уравнений прибавим соответствующие части первого уравнения, умноженные наи насоответственно:

Теперь из третьего уравнения исключим x 2 , прибавив к его левой и правой частям левую и правую части второго уравнения, умноженные на:

На этом прямой ход метода Гаусса закончен, начинаем обратный ход.

Из последнего уравнения полученной системы уравнений находим x 3 :

Из второго уравнения получаем .

Из первого уравнения находим оставшуюся неизвестную переменную и этим завершаем обратный ход метода Гаусса .

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Более детальную информацию и дополнительные примеры смотрите в разделе решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

К началу страницы

"

По формулам Крамера;

Методом Гаусса;

Решение : Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу ее расширенной матрицы, т. е. r (A )=r (A 1 ), где

Расширенная матрица системы имеет вид:

Умножим первую строку на (–3 ),а вторую на (2 ); прибавим после этого элементы первой строки к соответствующим элементам второй строки; вычтем из второй строки третью. В полученной матрице первую строку оставляем без изменений.

6 ) и поменяем местами вторую и третью строки:

Умножим вторую строку на (–11 ) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.

Разделим элементы третьей строки на (10 ).

Найдем определитель матрицы А .

Следовательно, r (A )=3 . Ранг расширенной матрицы r (A 1 ) так же равен 3 , т.е.

r (A )=r (A 1 )=3 Þ система совместна.

1) Исследуя систему на совместность, расширенную матрицу преобразовали по методу Гаусса.

Метод Гаусса состоит в следующем:

1. Приведение матрицы к треугольному виду, т. е. ниже главной диагонали должны находиться нули (прямой ход).

2. Из последнего уравнения находим х 3 и подставляем его во второе, находим х 2 , и зная х 3 , х 2 подставляем их в первое уравнение, находим х 1 (обратный ход).

Запишем, преобразованную по методу Гаусса, расширенную матрицу

в виде системы трех уравнений:

Þ х 3 =1

х 2 =х 3 Þ х 3 =1

2х 1 =4+х 2 +х 3 Þ 2х 1 =4+1+1 Þ

Þ 2х 1 =6 Þ х 1 =3

.

2) Решим систему по формулам Крамера: если определитель системы уравнений Δ отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

Вычислим определитель системы Δ:

Т.к. определитель системы отличен от нуля, то согласно правилу Крамера, система имеет единственное решение. Вычислим определители Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Они получаются из определителя системы Δ заменой соответствующего столбца на столбец свободных коэффициентов.

Находим по формулам неизвестные:

Ответ: х 1 =3 , х 2 =1, х 3 =1.

3) Решим систему средствами матричного исчисления, т. е. при помощи обратной матрицы.

А×Х=В Þ Х=А -1 × В , где А -1 – обратная матрица к А ,

Столбец свободных членов,

Матрица-столбец неизвестных.

Обратная матрица считается по формуле:

где D - определитель матрицы А , А ij – алгебраические дополнения элемента а ij матрицы А . D = 60 (из предыдущего пункта). Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица А обратима, и обратную к ней матрицу можно найти по формуле (*). Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А по формуле:

А ij = (-1 ) i+j M ij .

х 1 , х 2 , х 3 обратили каждое уравнение в тождество, то они найдены верно.

Пример 6 . Решить систему методом Гаусса и найти какие-нибудь два базисных решения системы.