Les équations en général, les équations algébriques linéaires et leurs systèmes, ainsi que les méthodes pour les résoudre, occupent une place particulière en mathématiques, tant théoriques qu'appliquées.
Cela est dû au fait que la grande majorité des problèmes physiques, économiques, techniques et même pédagogiques peuvent être décrits et résolus à l'aide d'une variété d'équations et de leurs systèmes. Récemment, la modélisation mathématique a acquis une popularité particulière parmi les chercheurs, les scientifiques et les praticiens dans presque tous les domaines, ce qui s'explique par ses avantages évidents par rapport à d'autres méthodes bien connues et éprouvées pour l'étude d'objets de nature variée, en particulier la méthode dite complexe. systèmes. Il existe une grande variété de définitions différentes d'un modèle mathématique données par les scientifiques à différents moments, mais à notre avis, la plus réussie est la déclaration suivante. Un modèle mathématique est une idée exprimée par une équation. Ainsi, la capacité de composer et de résoudre des équations et leurs systèmes est une caractéristique intégrale d'un spécialiste moderne.
Pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires, les méthodes les plus couramment utilisées sont : Cramer, Jordan-Gauss et la méthode matricielle.
Méthode de solution matricielle - une méthode de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires avec un déterminant non nul à l'aide d'une matrice inverse.
Si nous écrivons les coefficients pour les valeurs inconnues xi dans la matrice A, collectons les valeurs inconnues dans le vecteur de la colonne X et les termes libres dans le vecteur de la colonne B, alors le système d'équations algébriques linéaires peut être écrit dans la forme de l'équation matricielle suivante A X = B, qui n'a de solution unique que lorsque le déterminant de la matrice A n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, la solution du système d'équations peut être trouvée de la manière suivante X = UN-1 · B, Où UN-1 - matrice inverse.
La méthode de résolution matricielle est la suivante.
Soit un système d'équations linéaires donné avec n inconnu:
Elle peut être réécrite sous forme matricielle : HACHE = B, Où UN- la matrice principale du système, B Et X- des colonnes de membres libres et de solutions du système, respectivement :
Multipliez cette équation matricielle à gauche par UN-1 - matrice inverse de la matrice UN: UN -1 (HACHE) = UN -1 B
Parce que UN -1 UN = E, on a X= UN -1 B. Le côté droit de cette équation donnera une colonne de solutions au système original. La condition d'applicabilité de cette méthode (ainsi que l'existence générale d'une solution à un système non homogène d'équations linéaires avec le nombre d'équations égal au nombre d'inconnues) est la non-dégénérescence de la matrice UN. Une condition nécessaire et suffisante pour cela est que le déterminant de la matrice UN: det UN≠ 0.
Pour un système homogène d'équations linéaires, c'est-à-dire lorsque le vecteur B = 0 , en effet la règle inverse : le système HACHE = 0 a une solution non triviale (c'est-à-dire non nulle) uniquement si det UN= 0. Une telle connexion entre les solutions de systèmes homogènes et non homogènes d'équations linéaires est appelée l'alternative de Fredholm.
Exemple solutions d'un système non homogène d'équations algébriques linéaires.
Assurons-nous que le déterminant de la matrice, composé des coefficients des inconnues du système d'équations algébriques linéaires, n'est pas égal à zéro.
L'étape suivante consiste à calculer les compléments algébriques des éléments de la matrice constituée des coefficients des inconnues. Ils seront nécessaires pour trouver la matrice inverse.
Soit une matrice carrée d'ordre n
La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A * A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n.
Matrice d'identité- une telle matrice carrée, dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale, passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, sont des uns et les autres sont des zéros, par exemple :
matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées ceux. pour les matrices qui ont le même nombre de lignes et de colonnes.
Théorème de la condition d'existence de la matrice inverse
Pour qu'une matrice ait une matrice inverse, il faut et il suffit qu'elle soit non dégénérée.
La matrice A = (A1, A2,...A n) est appelée non dégénéré si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. Par conséquent, on peut dire que pour qu'une matrice inverse existe, il faut et il suffit que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r = n.
Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1
Solution : Nous écrivons la matrice A et à droite nous attribuons la matrice identité E. En utilisant les transformations de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice identité E. Les calculs sont présentés dans le tableau 31.1.
Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice d'origine A et la matrice inverse A -1.
À la suite de la multiplication matricielle, la matrice d'identité est obtenue. Les calculs sont donc corrects.
Répondre: 
Les équations matricielles peuvent ressembler à :
AX = B, XA = B, AXB = C,
où A, B, C sont des matrices données, X est la matrice souhaitée.
Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.
Par exemple, pour trouver la matrice d'une équation, vous devez multiplier cette équation par à gauche.
Par conséquent, pour trouver une solution à l'équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l'équation.
Les autres équations sont résolues de la même manière.
Résolvez l'équation AX = B si 
Solution: Puisque l'inverse de la matrice est égal (voir exemple 1)
Avec d'autres, ils trouvent également une application méthodes matricielles. Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et matricielle. Ces méthodes sont utilisées à des fins d'analyse de phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de comparer le fonctionnement des organisations et leurs divisions structurelles.
Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielle, plusieurs étapes peuvent être distinguées.
Au premier stade la formation d'un système d'indicateurs économiques est effectuée et sur sa base une matrice de données initiales est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros de système sont indiqués dans ses lignes individuelles (i = 1,2,....,n), et le long des graphiques verticaux - nombre d'indicateurs (j = 1,2,....,m).
Au deuxième stade pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs disponibles des indicateurs est révélée, qui est prise comme une unité.
Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par la plus grande valeur et une matrice de coefficients normalisés est formée.
A la troisième étape tous les composants de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, chaque indicateur de la matrice se voit attribuer un certain coefficient de pondération k. La valeur de ce dernier est déterminée par un expert.
Le dernier quatrième étape valeurs trouvées des notes Rj regroupés par ordre croissant ou décroissant.
Les méthodes matricielles ci-dessus doivent être utilisées, par exemple, lorsque analyse comparative divers projets d'investissement, ainsi que lors de l'évaluation d'autres indicateurs de performance économique des organisations.
Considérer système d'équations algébriques linéaires(LENT) concernant n inconnu X 1 , X 2 , ..., X n :
Ce système sous une forme "pliée" peut s'écrire comme suit :
S n je=1 un ij X j = b je , je=1,2, ..., n.
Conformément à la règle de la multiplication matricielle, le système d'équations linéaires considéré peut s'écrire en forme matricielle hache=b, Où
Matrice UN, dont les colonnes sont les coefficients des inconnues correspondantes, et les lignes sont les coefficients des inconnues de l'équation correspondante est appelée matrice système. matrice de colonne b, dont les éléments sont les parties droites des équations du système, est appelée la matrice de la partie droite ou simplement côté droit du système. matrice de colonne X , dont les éléments sont des inconnues inconnues, est appelé solution système.
Le système d'équations algébriques linéaires écrit comme hache=b, est équation matricielle.
Si la matrice du système non dégénéré, alors il a une matrice inverse, puis la solution du système hache=b est donné par la formule :
x=A -1 b.
Exemple Résoudre le système 
méthode matricielle.
Solution trouver la matrice inverse de la matrice des coefficients du système
Calculez le déterminant en développant sur la première ligne :
Parce que le Δ ≠ 0 , Ce UN -1 existe.
La matrice inverse est trouvée correctement.
Trouvons une solution au système 
Ainsi, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Examen: 
Système d'équations linéaires ressemble à:
une 21 x 1 + une 22 x 2 +... + une 2n x n = b 2 , (5.1)
une m1 x 1 + une m1 x 2 +... + une mn x n = b m .
Ici a i j et b i (i = ; j = ) sont donnés, et x j sont des nombres réels inconnus. En utilisant le concept de produit de matrices, on peut réécrire le système (5.1) sous la forme :
où A = (a i j) est la matrice constituée des coefficients des inconnues du système (5.1), que l'on appelle matrice système, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vecteurs colonnes composés respectivement de termes inconnus x j et libres b i .
Collecte commandée n les nombres réels (c 1 , c 2 ,..., c n) s'appellent solution système(5.1) si par suite de la substitution de ces nombres au lieu des variables correspondantes x 1 , x 2 ,..., x n chaque équation du système se transforme en une identité arithmétique ; autrement dit, s'il existe un vecteur C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tel que AC B.
Le système (5.1) est appelé articulation, ou soluble s'il a au moins une solution. Le système s'appelle incompatible, ou insoluble s'il n'a pas de solutions.
,
formé en attribuant une colonne de termes libres à la matrice A de droite, s'appelle système matriciel étendu.
La question de la compatibilité du système (5.1) est résolue par le théorème suivant.
Théorème de Kronecker-Capelli . Le système d'équations linéaires est cohérent si et seulement si les rangs des matrices A et A coïncident, c'est-à-dire r(A) = r(A) = r.
Pour l'ensemble M des solutions du système (5.1), il existe trois possibilités :
1) M = (dans ce cas le système est incohérent) ;
2) M consiste en un élément, c'est-à-dire le système a une solution unique (dans ce cas le système est appelé certain);
3) M se compose de plus d'un élément (alors le système est appelé incertain). Dans le troisième cas, le système (5.1) possède une infinité de solutions.
Le système n'a une solution unique que si r(A) = n. Dans ce cas, le nombre d'équations n'est pas inférieur au nombre d'inconnues (mn) ; si m>n, alors m-n équations sont les conséquences du reste. Si 0 Pour résoudre un système arbitraire d'équations linéaires, il faut être capable de résoudre des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, ce que l'on appelle Systèmes de type Cramer: une 11 x 1 + une 12 x 2 +... + une 1n x n = b 1 , une 21 x 1 + une 22 x 2 +... + une 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... une n1 x 1 + une n1 x 2 +... + une nn x n = b n . Les systèmes (5.3) sont résolus de l'une des manières suivantes : 1) par la méthode de Gauss, ou par la méthode d'élimination des inconnues ; 2) selon les formules de Cramer ; 3) par la méthode matricielle. Exemple 2.12. Étudiez le système d'équations et résolvez-le s'il est compatible : 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solution. On écrit la matrice étendue du système :
Calculons le rang de la matrice principale du système. Il est évident que, par exemple, le mineur du second ordre dans le coin supérieur gauche = 7 0 ; les mineurs de rang 3 qui en contiennent sont égaux à zéro : Par conséquent, le rang de la matrice principale du système est 2, c'est-à-dire r(A) = 2. Pour calculer le rang de la matrice étendue A, considérons la frontière mineure donc, le rang de la matrice étendue est r(A) = 3. Puisque r(A) r(A), le système est incohérent. Soit le système d'équations algébriques linéaires donné sous forme matricielle , où la matrice UN a la dimension n sur n et son déterminant est non nul. Puisque , alors la matrice UN est inversible, c'est-à-dire qu'il existe une matrice inverse. Si nous multiplions les deux côtés de l'égalité vers la gauche, nous obtenons une formule pour trouver la matrice de colonne des variables inconnues. Nous avons donc obtenu la solution du système d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle. On réécrit le système d'équations sous forme matricielle : Parce que Nous construisons une matrice inverse en utilisant une matrice de compléments algébriques d'éléments de matrice UN(si besoin, voir l'article méthodes pour trouver la matrice inverse) : Il reste à calculer - la matrice des variables inconnues en multipliant la matrice inverse Le principal problème dans la recherche de solutions aux systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle est la complexité de trouver la matrice inverse, en particulier pour les matrices carrées d'ordre supérieur au tiers. Pour une description plus détaillée de la théorie et des exemples supplémentaires, voir l'article Méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Haut de page Supposons que nous ayons besoin de trouver une solution au système à partir de néquations linéaires avec n variables inconnues L'essence de la méthode de Gauss consiste en l'exclusion successive de variables inconnues : premièrement, la X 1
de toutes les équations du système, en partant de la seconde, puis X 2
de toutes les équations, en commençant par la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue dans la dernière équation X n. Un tel processus de transformation des équations du système pour l'élimination successive des variables inconnues est appelé méthode de Gauss directe. Après l'achèvement du mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss, à partir de la dernière équation, nous trouvons X n, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation est calculée X n-1, et ainsi de suite, à partir de la première équation on trouve X 1
. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première s'appelle méthode de Gauss inverse. Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues. Nous supposerons que , puisque nous pouvons toujours y parvenir en réarrangeant les équations du système. Éliminer la variable inconnue X 1
de toutes les équations du système, à partir de la seconde. Pour ce faire, ajoutez la première équation multipliée par à la deuxième équation du système, ajoutez la première multipliée par la troisième équation, et ainsi de suite, jusqu'à nième ajouter la première équation, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme On arriverait au même résultat si on exprimait X 1
à travers d'autres variables inconnues dans la première équation du système et l'expression résultante a été substituée dans toutes les autres équations. Alors la variable X 1
exclue de toutes les équations, à commencer par la seconde. Ensuite, nous agissons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marqué sur la figure Pour ce faire, ajoutez la seconde multipliée par à la troisième équation du système, ajoutez la seconde multipliée par à la quatrième équation, et ainsi de suite, jusqu'à nième ajouter la deuxième équation, multipliée par. Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu X 3
, tandis que nous agissons de même avec la partie du système marquée sur la figure On continue donc le cours direct de la méthode de Gauss jusqu'à ce que le système prenne la forme A partir de ce moment, on commence le cours inverse de la méthode de Gauss : on calcule X n de la dernière équation comme, en utilisant la valeur obtenue X n trouver X n-1à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve X 1
de la première équation. Résoudre le système d'équations linéaires Éliminer la variable inconnue X 1
à partir des deuxième et troisième équations du système. Pour ce faire, aux deux parties des deuxième et troisième équations, on ajoute les parties correspondantes de la première équation, multipliées par et par, respectivement : Maintenant, nous éliminons de la troisième équation X 2
, en ajoutant à ses parties gauche et droite les parties gauche et droite de la seconde équation, multipliées par : Sur ce, le parcours aller de la méthode de Gauss est terminé, on entame le parcours inverse. De la dernière équation du système d'équations résultant, nous trouvons X 3
: De la deuxième équation, nous obtenons . À partir de la première équation, nous trouvons la variable inconnue restante et cela complète le cours inverse de la méthode de Gauss. X 1
= 4, x 2
= 0, x 3
=
-1
. Pour des informations plus détaillées et des exemples supplémentaires, voir la section sur la résolution de systèmes élémentaires d'équations algébriques linéaires à l'aide de la méthode de Gauss. Haut de page Selon les formules de Cramer; méthode de Gauss ; Solution: Le théorème de Kronecker-Capelli. Un système est cohérent si et seulement si le rang de la matrice de ce système est égal au rang de sa matrice étendue, c'est-à-dire r(UN)=r(Un 1), Où La matrice étendue du système a la forme : Multipliez la première ligne par ( –3
), et la seconde sur ( 2
); puis ajouter les éléments de la première rangée aux éléments correspondants de la deuxième rangée ; Soustrayez la troisième ligne de la deuxième ligne. Dans la matrice résultante, la première ligne reste inchangée. 6
) et permutez les deuxième et troisième lignes : Multipliez la deuxième ligne par ( –11
) et ajouter aux éléments correspondants de la troisième ligne. Divisez les éléments de la troisième rangée par ( 10
). Trouvons le déterminant de la matrice UN. Ainsi, r(UN)=3
. Rang matriciel étendu r(Un 1) est également égal à 3
, c'est à dire. r(UN)=r(Un 1)=3
Þ le système est compatible. 1) En examinant le système pour compatibilité, la matrice augmentée a été transformée par la méthode de Gauss. La méthode de Gauss est la suivante : 1. Amener la matrice à une forme triangulaire, c'est-à-dire que les zéros doivent être en dessous de la diagonale principale (mouvement vers l'avant). 2. De la dernière équation, nous trouvons x3 et le substituons dans le second, on trouve x2, et sachant x3, x2 en les branchant sur la première équation, on trouve x1(mouvement inverse). Écrivons la matrice augmentée, transformée par la méthode de Gauss sous la forme d'un système de trois équations : Þ x 3 \u003d 1 x 2 = x 3Þ x 3 \u003d 1 2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ Þ 2x 1 =6 Þ x 1 \u003d 3 .
2) Nous résolvons le système en utilisant les formules de Cramer : si le déterminant du système d'équations Δ est différent de zéro, alors le système a une solution unique, qui est trouvée par les formules Calculons le déterminant système Δ : Parce que le déterminant du système est non nul, alors selon la règle de Cramer, le système a une solution unique. On calcule les déterminants Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Ils sont obtenus à partir du déterminant du système Δ en remplaçant la colonne correspondante par la colonne des coefficients libres. On trouve les inconnues à l'aide des formules : Réponse : x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .
3) Nous résolvons le système au moyen du calcul matriciel, c'est-à-dire en utilisant la matrice inverse. A×X=B Þ X \u003d A -1 × B, Où A -1 est la matrice inverse de UN, colonne des membres gratuits, Matrice-colonne des inconnues. La matrice inverse est calculée par la formule : Où D- déterminant matriciel UN, Et je sont les compléments algébriques de l'élément a ij matrices UN. D= 60 (du paragraphe précédent). Le déterminant est non nul, par conséquent, la matrice A est inversible et la matrice inverse peut être trouvée par la formule (*). Trouvons les additions algébriques pour tous les éléments de la matrice A par la formule : Et ij =(-1
)i+j M ij . x 1, x 2, x 3 ont transformé chaque équation en une identité, puis elles sont trouvées correctement. Exemple 6.
Résolvez le système en utilisant la méthode de Gauss et trouvez deux solutions de base du système.
.
Résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires par la méthode matricielle (en utilisant la matrice inverse).
méthode matricielle.
alors SLAE peut être résolu par la méthode matricielle. En utilisant la matrice inverse, la solution de ce système peut être trouvée comme 
.
sur une matrice-colonne de membres libres (voir si nécessaire l'article sur les opérations sur les matrices) : 
ou dans une autre entrée X 1
= 4, x 2
= 0, x 3
= -1
.Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss.
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.
où un 
.
où un 
. Alors la variable X 2
exclus de toutes les équations, à commencer par la troisième.
Méthode gaussienne.
"
