As equações em geral, as equações algébricas lineares e seus sistemas, bem como os métodos para resolvê-las, ocupam um lugar especial na matemática, tanto teórica quanto aplicada.
Isto se deve ao fato de que a grande maioria dos problemas físicos, econômicos, técnicos e até pedagógicos podem ser descritos e resolvidos por meio de uma variedade de equações e seus sistemas. Recentemente, a modelagem matemática ganhou particular popularidade entre pesquisadores, cientistas e profissionais em quase todas as áreas temáticas, o que é explicado por suas vantagens óbvias sobre outros métodos bem conhecidos e comprovados para estudar objetos de diversas naturezas, em particular, os chamados complexos sistemas. Há uma grande variedade de definições diferentes de um modelo matemático dadas por cientistas em diferentes momentos, mas, em nossa opinião, a seguinte afirmação é a mais bem-sucedida. Um modelo matemático é uma ideia expressa por uma equação. Assim, a capacidade de compor e resolver equações e seus sistemas é uma característica integrante do especialista moderno.
Para resolver sistemas de equações algébricas lineares, os métodos mais utilizados são Cramer, Jordan-Gauss e o método matricial.
O método de solução matricial é um método para resolver sistemas de equações algébricas lineares com um determinante diferente de zero usando uma matriz inversa.
Se escrevermos os coeficientes para as quantidades desconhecidas xi na matriz A, coletarmos as quantidades desconhecidas na coluna do vetor X e os termos livres na coluna do vetor B, então o sistema de equações algébricas lineares pode ser escrito na forma de seguinte equação matricial A · X = B, que tem solução única apenas quando o determinante da matriz A não é igual a zero. Neste caso, a solução do sistema de equações pode ser encontrada da seguinte forma X = A-1 · B, Onde A-1 é a matriz inversa.
O método de solução matricial é o seguinte.
Seja-nos dado um sistema de equações lineares com n desconhecido:
Pode ser reescrito na forma matricial: MACHADO = B, Onde A- a matriz principal do sistema, B E X- colunas de termos livres e soluções do sistema, respectivamente:
Vamos multiplicar esta equação matricial da esquerda por A-1 - matriz inversa da matriz A: A -1 (MACHADO) = A -1 B
Porque A -1 A = E, Nós temos X= UMA -1 B. O lado direito desta equação dará a coluna de solução do sistema original. A condição para a aplicabilidade deste método (bem como a existência geral de uma solução para um sistema não homogêneo de equações lineares com o número de equações igual ao número de incógnitas) é a não degenerescência da matriz A. Uma condição necessária e suficiente para isso é que o determinante da matriz não seja igual a zero A:det A≠ 0.
Para um sistema homogêneo de equações lineares, isto é, quando o vetor B = 0 , na verdade, a regra oposta: o sistema MACHADO = 0 tem uma solução não trivial (ou seja, diferente de zero) somente se det A= 0. Tal conexão entre soluções de sistemas homogêneos e não homogêneos de equações lineares é chamada de alternativa de Fredholm.
Exemplo soluções para um sistema não homogêneo de equações algébricas lineares.
Certifique-se de que o determinante da matriz, composta pelos coeficientes das incógnitas do sistema de equações algébricas lineares, não seja igual a zero.
O próximo passo é calcular os complementos algébricos para os elementos da matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas. Eles serão necessários para encontrar a matriz inversa.
Seja uma matriz quadrada de enésima ordem
Matriz A -1 é chamada matriz inversa em relação à matriz A, se A*A -1 = E, onde E é a matriz identidade de enésima ordem.
Matriz de identidade- uma matriz quadrada em que todos os elementos ao longo da diagonal principal, passando do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, são uns e o resto são zeros, por exemplo:
matriz inversa pode existir apenas para matrizes quadradas aqueles. para aquelas matrizes em que o número de linhas e colunas coincide.
Teorema para a condição de existência de uma matriz inversa
Para que uma matriz tenha uma matriz inversa é necessário e suficiente que ela seja não singular.
A matriz A = (A1, A2,...A n) é chamada não degenerado, se os vetores da coluna forem linearmente independentes. O número de vetores coluna linearmente independentes de uma matriz é chamado de posto da matriz. Portanto, podemos dizer que para que exista uma matriz inversa é necessário e suficiente que o posto da matriz seja igual à sua dimensão, ou seja, r = n.
Para a matriz A, encontre a matriz inversa A -1
Solução: Escrevemos a matriz A e atribuímos à direita a matriz identidade E. Usando as transformações de Jordan, reduzimos a matriz A à matriz identidade E. Os cálculos são dados na Tabela 31.1.
Vamos verificar a exatidão dos cálculos multiplicando a matriz original A e a matriz inversa A -1.
Como resultado da multiplicação da matriz, a matriz identidade foi obtida. Portanto, os cálculos foram realizados corretamente.
Responder: 
As equações matriciais podem ser assim:
AX = B, HA = B, AXB = C,
onde A, B, C são as matrizes especificadas, X é a matriz desejada.
As equações matriciais são resolvidas multiplicando a equação por matrizes inversas.
Por exemplo, para encontrar a matriz da equação, você precisa multiplicar esta equação por à esquerda.
Portanto, para encontrar uma solução para a equação, você precisa encontrar a matriz inversa e multiplicá-la pela matriz do lado direito da equação.
Outras equações são resolvidas de forma semelhante.
Resolva a equação AX = B se 
Solução: Como a matriz inversa é igual a (ver exemplo 1)
Junto com outros, eles também são usados métodos matriciais. Esses métodos são baseados em álgebra linear e de matriz vetorial. Tais métodos são utilizados para analisar fenômenos econômicos complexos e multidimensionais. Na maioria das vezes, esses métodos são utilizados quando é necessário fazer uma avaliação comparativa do funcionamento das organizações e de suas divisões estruturais.
No processo de aplicação de métodos de análise matricial, várias etapas podem ser distinguidas.
Na primeira fase está sendo formado um sistema de indicadores econômicos e com base nele é compilada uma matriz de dados iniciais, que é uma tabela na qual os números do sistema são mostrados em suas linhas individuais (eu = 1,2,....,n), e em colunas verticais - números de indicadores (j = 1,2,....,m).
Na segunda etapa Para cada coluna vertical, é identificado o maior valor do indicador disponível, que é considerado um.
Depois disso, todos os valores refletidos nesta coluna são divididos pelo maior valor e é formada uma matriz de coeficientes padronizados.
Na terceira fase todos os componentes da matriz são elevados ao quadrado. Se eles tiverem significados diferentes, então a cada indicador da matriz será atribuído um determinado coeficiente de peso k. O valor deste último é determinado pela opinião de especialistas.
No último, quarta etapa valores de classificação encontrados Rj são agrupados em ordem de aumento ou diminuição.
Os métodos matriciais descritos devem ser usados, por exemplo, quando análise comparativa diversos projetos de investimento, bem como na avaliação de outros indicadores econômicos das organizações.
Vamos considerar sistema de equações algébricas lineares(SLAU) relativamente n desconhecido x 1 , x 2 , ..., x n :
Este sistema de forma “recolhida” pode ser escrito da seguinte forma:
S n eu=1 a eu j x j =b eu , eu=1,2, ..., n.
De acordo com a regra de multiplicação de matrizes, o sistema de equações lineares considerado pode ser escrito em forma matricial Machado=b, Onde
Matriz A, cujas colunas são os coeficientes para as incógnitas correspondentes, e as linhas são os coeficientes para as incógnitas na equação correspondente é chamada matriz do sistema. Matriz de coluna b, cujos elementos são os lados direitos das equações do sistema, é chamada de matriz do lado direito ou simplesmente lado direito do sistema. Matriz de coluna x , cujos elementos são as incógnitas desconhecidas, é chamado solução de sistema.
Um sistema de equações algébricas lineares escritas na forma Machado=b, é equação matricial.
Se a matriz do sistema não degenerado, então tem uma matriz inversa e então a solução do sistema é Machado=bé dado pela fórmula:
x = UMA -1 b.
Exemplo Resolva o sistema 
método matricial.
Solução vamos encontrar a matriz inversa da matriz de coeficientes do sistema
Vamos calcular o determinante expandindo ao longo da primeira linha:
Porque o Δ ≠ 0 , Que A -1 existe.
A matriz inversa foi encontrada corretamente.
Vamos encontrar uma solução para o sistema 
Por isso, x 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .
Exame: 
Sistema de equações lineares tem o formato:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Aqui a i j e b i (i = ; j = ) são dados, e x j são números reais desconhecidos. Utilizando o conceito de produto de matrizes, podemos reescrever o sistema (5.1) na forma:
onde A = (a i j) é uma matriz composta por coeficientes para as incógnitas do sistema (5.1), que é chamada matriz do sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T são vetores coluna compostos respectivamente por incógnitas x j e termos livres b i .
Coleção ordenada n números reais (c 1, c 2,..., c n) são chamados solução de sistema(5.1), se ao substituir esses números em vez das variáveis correspondentes x 1, x 2,..., x n, cada equação do sistema se transforma em uma identidade aritmética; em outras palavras, se existe um vetor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tal que AC B.
O sistema (5.1) é chamado articulação, ou solucionável, se tiver pelo menos uma solução. O sistema é chamado incompatível, ou insolúvel, se não tiver soluções.
,
formado pela atribuição de uma coluna de termos livres ao lado direito da matriz A é chamado matriz estendida do sistema.
A questão da compatibilidade do sistema (5.1) é resolvida pelo seguinte teorema.
Teorema de Kronecker-Capelli . Um sistema de equações lineares é consistente se e somente se as fileiras das matrizes A eA coincidem, ou seja, r(A) = r(A) = r.
Para o conjunto M de soluções do sistema (5.1) existem três possibilidades:
1) M = (neste caso o sistema é inconsistente);
2) M consiste em um elemento, ou seja, o sistema tem uma solução única (neste caso o sistema é chamado certo);
3) M consiste em mais de um elemento (então o sistema é chamado incerto). No terceiro caso, o sistema (5.1) possui um número infinito de soluções.
O sistema tem solução única somente se r(A) = n. Neste caso, o número de equações não é inferior ao número de incógnitas (mn); se m>n, então m-n equações são consequências dos outros. Se 0 Para resolver um sistema arbitrário de equações lineares, você precisa ser capaz de resolver sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas - os chamados Sistemas do tipo Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Os sistemas (5.3) são resolvidos de uma das seguintes maneiras: 1) método de Gauss, ou método de eliminação de incógnitas; 2) segundo fórmulas de Cramer; 3) método matricial. Exemplo 2.12. Explore o sistema de equações e resolva-o se for consistente: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solução. Escrevemos a matriz estendida do sistema:
Vamos calcular a classificação da matriz principal do sistema. É óbvio que, por exemplo, o menor de segunda ordem no canto superior esquerdo = 7 0; os menores de terceira ordem que o contêm são iguais a zero: Consequentemente, a classificação da matriz principal do sistema é 2, ou seja, r(A) = 2. Para calcular a classificação da matriz estendida A, considere o menor limítrofe isso significa que a classificação da matriz estendida r(A) = 3. Como r(A) r(A), o sistema é inconsistente. Deixe o sistema de equações algébricas lineares ser dado em forma de matriz , onde a matriz A tem dimensão n sobre n e seu determinante é diferente de zero. Desde , então a matriz A– é invertível, ou seja, existe uma matriz inversa. Se multiplicarmos ambos os lados da igualdade à esquerda, obteremos uma fórmula para encontrar uma coluna-matriz de variáveis desconhecidas. Foi assim que obtivemos a solução de um sistema de equações algébricas lineares usando o método matricial. Vamos reescrever o sistema de equações em forma matricial: Porque Vamos construir uma matriz inversa usando uma matriz de complementos algébricos de elementos da matriz A(se necessário, consulte o artigo métodos para encontrar a matriz inversa): Resta calcular a matriz de variáveis desconhecidas multiplicando a matriz inversa O principal problema ao encontrar soluções para sistemas de equações algébricas lineares usando o método matricial é a complexidade de encontrar a matriz inversa, especialmente para matrizes quadradas de ordem superior a terceira. Para uma descrição mais detalhada da teoria e exemplos adicionais, consulte o artigo Método matricial para resolver sistemas de equações lineares. Topo da página Suponha que precisamos encontrar uma solução para o sistema de n equações lineares com n variáveis desconhecidas A essência do método Gauss consiste em eliminar sequencialmente variáveis desconhecidas: primeiro eliminando x 1
de todas as equações do sistema, a partir da segunda, é ainda excluído x 2
de todas as equações, começando pela terceira, e assim por diante, até que apenas a variável desconhecida permaneça na última equação x n. Este processo de transformação de equações do sistema para eliminar sequencialmente variáveis desconhecidas é chamado método gaussiano direto. Depois de completar a progressão direta do método gaussiano, da última equação encontramos x n, usando este valor da penúltima equação calculamos x n-1, e assim por diante, a partir da primeira equação encontramos x 1
. O processo de cálculo de variáveis desconhecidas ao passar da última equação do sistema para a primeira é chamado inverso do método gaussiano. Descrevemos brevemente o algoritmo para eliminar variáveis desconhecidas. Assumiremos isso, já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Elimine a variável desconhecida x 1
de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, à segunda equação do sistema adicionamos a primeira, multiplicada por, à terceira equação adicionamos a primeira, multiplicada por, e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos o primeiro multiplicado por. O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1
através de outras variáveis desconhecidas na primeira equação do sistema e a expressão resultante foi substituída em todas as outras equações. Então a variável x 1
excluído de todas as equações, a partir da segunda. A seguir, procedemos de forma semelhante, mas apenas com parte do sistema resultante, que está marcado na figura Para fazer isso, à terceira equação do sistema adicionamos a segunda, multiplicada por, à quarta equação adicionamos a segunda, multiplicada por, e assim por diante, para enésimoà equação adicionamos o segundo, multiplicado por. O sistema de equações após tais transformações assumirá a forma Em seguida, procedemos à eliminação do desconhecido x 3
, neste caso agimos de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura Então continuamos a progressão direta do método gaussiano até que o sistema tome a forma A partir deste momento iniciamos o inverso do método gaussiano: calculamos x n da última equação como, usando o valor obtido x n nós achamos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1
da primeira equação. Resolver sistema de equações lineares Elimine a variável desconhecida x 1
da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, a ambos os lados da segunda e terceira equações adicionamos as partes correspondentes da primeira equação, multiplicadas por e respectivamente: Agora vamos excluir da terceira equação x 2
, somando aos seus lados esquerdo e direito os lados esquerdo e direito da segunda equação, multiplicado por: Isso completa o curso para frente do método de Gauss; iniciamos o curso reverso. Da última equação do sistema de equações resultante, encontramos x 3
: Da segunda equação obtemos . A partir da primeira equação encontramos a variável desconhecida restante e assim completamos o inverso do método de Gauss. x 1
= 4,x 2
= 0,x 3
=
-1
. Para obter informações mais detalhadas e exemplos adicionais, consulte a seção sobre resolução de sistemas elementares de equações algébricas lineares usando o método de Gauss. Topo da página De acordo com as fórmulas de Cramer; Método de Gauss; Solução: Teorema de Kronecker-Capelli. Um sistema é consistente se e somente se o posto da matriz deste sistema for igual ao posto de sua matriz estendida, ou seja, R(A)=r(Um 1), Onde A matriz estendida do sistema se parece com: Multiplique a primeira linha por ( –3
) e o segundo para ( 2
); Depois disso, adicione os elementos da primeira linha aos elementos correspondentes da segunda linha; subtraia o terceiro da segunda linha. Na matriz resultante, deixamos a primeira linha inalterada. 6
) e troque a segunda e a terceira linhas: Multiplique a segunda linha por ( –11
) e adicione aos elementos correspondentes da terceira linha. Divida os elementos da terceira linha por ( 10
). Vamos encontrar o determinante da matriz A. Por isso, R(A)=3
. Classificação de matriz estendida R(Um 1) também é igual 3
, ou seja R(A)=r(Um 1)=3
Þ O sistema é cooperativo. 1) Ao examinar a consistência do sistema, a matriz estendida foi transformada usando o método gaussiano. O método gaussiano é o seguinte: 1. Reduzindo a matriz para uma forma triangular, ou seja, deve haver zeros abaixo da diagonal principal (movimento direto). 2. Da última equação encontramos x 3 e substituí-lo no segundo, encontramos x 2, e sabendo x 3, x 2 nós os substituímos na primeira equação, encontramos x 1(reverter). Vamos escrever a matriz estendida transformada por Gauss na forma de um sistema de três equações: Þ x 3 = 1 x 2 = x 3Þ x 3 = 1 2x 1 =4+x 2 +x 3Þ 2x1 =4+1+1Þ Þ 2x 1 =6 Þ x1 =3 .
2) Vamos resolver o sistema usando as fórmulas de Cramer: se o determinante do sistema de equações Δ for diferente de zero, então o sistema tem uma solução única, que é encontrada usando as fórmulas Vamos calcular o determinante do sistema Δ: Porque Se o determinante do sistema for diferente de zero, então, de acordo com a regra de Cramer, o sistema tem uma solução única. Vamos calcular os determinantes Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Eles são obtidos a partir do determinante do sistema Δ substituindo a coluna correspondente por uma coluna de coeficientes livres. Encontramos as incógnitas usando as fórmulas: Resposta: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .
3) Vamos resolver o sistema usando cálculo matricial, ou seja, usando a matriz inversa. A×X=B Þ X = UMA -1 × B, Onde Um-1– matriz inversa para A, Coluna de membros gratuitos, Coluna matricial de incógnitas. A matriz inversa é calculada usando a fórmula: Onde D- determinante da matriz A, Aij– complementos algébricos do elemento a eu j matrizes A. D= 60 (do parágrafo anterior). O determinante é diferente de zero, portanto, a matriz A é invertível, e sua matriz inversa pode ser encontrada pela fórmula (*). Vamos encontrar complementos algébricos para todos os elementos da matriz A usando a fórmula: E eu =(-1
)i+j M ij . x 1, x 2, x 3 transformaram cada equação em uma identidade, então elas foram encontradas corretamente. Exemplo 6.
Resolva o sistema usando o método gaussiano e encontre algumas duas soluções básicas do sistema.
.
Resolução de sistemas de equações algébricas lineares usando o método matricial (usando uma matriz inversa).
método matricial.
então o SLAE pode ser resolvido usando o método matricial. Usando a matriz inversa, a solução para este sistema pode ser encontrada como 
.
para uma coluna-matriz de membros livres (se necessário, consulte o artigo operações em matrizes): 
ou em outro post x 1
= 4,x 2
= 0,x 3
= -1
.Resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss.
cujo determinante da matriz principal é diferente de zero.
onde e 
.
onde e 
. Então a variável x 2
excluído de todas as equações a partir da terceira.
Método de Gauss.
"
