Las ecuaciones en general, las ecuaciones algebraicas lineales y sus sistemas, así como los métodos para resolverlas, ocupan un lugar especial en las matemáticas, tanto teóricas como aplicadas.

Esto se debe a que la gran mayoría de los problemas físicos, económicos, técnicos e incluso pedagógicos pueden ser descritos y resueltos utilizando una variedad de ecuaciones y sus sistemas. Recientemente, el modelado matemático ha ganado particular popularidad entre investigadores, científicos y profesionales en casi todas las áreas temáticas, lo que se explica por sus ventajas obvias sobre otros métodos bien conocidos y probados para estudiar objetos de diversa naturaleza, en particular, los llamados complejos. sistemas Existe una gran variedad de definiciones diferentes de un modelo matemático dadas por científicos en diferentes momentos, pero en nuestra opinión, la más acertada es la siguiente afirmación. Un modelo matemático es una idea expresada por una ecuación. Por lo tanto, la capacidad de componer y resolver ecuaciones y sus sistemas es una característica integral de un especialista moderno.

Para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, los métodos más utilizados son: Cramer, Jordan-Gauss y el método matricial.

Método de solución matricial: un método para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales con un determinante distinto de cero utilizando una matriz inversa.

Si escribimos los coeficientes para los valores desconocidos xi en la matriz A, recopilamos los valores desconocidos en el vector de la columna X y los términos libres en el vector de la columna B, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede escribir en la forma de la siguiente ecuación matricial A X = B, que tiene solución única sólo cuando el determinante de la matriz A no es igual a cero. En este caso, la solución del sistema de ecuaciones se puede encontrar de la siguiente manera X = A-1 · B, Dónde A-1 - matriz inversa.

El método de solución matricial es el siguiente.

Sea un sistema de ecuaciones lineales con norte desconocido:

Se puede reescribir en forma matricial: HACHA = B, Dónde A- la matriz principal del sistema, B Y X- columnas de miembros libres y soluciones del sistema, respectivamente:

Multiplique esta ecuación matricial de la izquierda por A-1 - matriz inversa a matriz A: A -1 (HACHA) = A -1 B

Porque A -1 A = mi, obtenemos X= un -1 B. El lado derecho de esta ecuación dará una columna de soluciones al sistema original. La condición para la aplicabilidad de este método (así como la existencia general de una solución a un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales con el número de ecuaciones igual al número de incógnitas) es la no degeneración de la matriz A. Una condición necesaria y suficiente para esto es que el determinante de la matriz A: det A≠ 0.

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir, cuando el vector B = 0 , de hecho la regla opuesta: el sistema HACHA = 0 tiene una solución no trivial (es decir, distinta de cero) solo si det A= 0. Tal conexión entre las soluciones de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones lineales se llama la alternativa de Fredholm.

Ejemplo soluciones de un sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales.

Asegurémonos de que el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones algebraicas lineales, no sea igual a cero.

El siguiente paso es calcular los complementos algebraicos de los elementos de la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas. Se necesitarán para encontrar la matriz inversa.

Sea una matriz cuadrada de orden n

La matriz A -1 se llama matriz inversa con respecto a la matriz A, si A * A -1 = E, donde E es la matriz identidad de orden n.

Matriz de identidad- tal matriz cuadrada, en la que todos los elementos a lo largo de la diagonal principal, pasando desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha, son unos, y el resto son ceros, por ejemplo:

matriz inversa puede existir solo para matrices cuadradas aquellos. para aquellas matrices que tienen el mismo número de filas y columnas.

Teorema de la condición de existencia de la matriz inversa

Para que una matriz tenga matriz inversa, es necesario y suficiente que no sea degenerada.

La matriz A = (A1, A2,...A n) se llama no degenerado si los vectores columna son linealmente independientes. El número de vectores columna linealmente independientes de una matriz se denomina rango de la matriz. Por tanto, podemos decir que para que exista una matriz inversa es necesario y suficiente que el rango de la matriz sea igual a su dimensión, es decir r = norte

Algoritmo para encontrar la matriz inversa

1. Escriba la matriz A en la tabla para resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss y a la derecha (en lugar de las partes correctas de las ecuaciones) asígnele la matriz E.
2. Usando transformaciones de Jordan, lleve la matriz A a una matriz que consta de columnas individuales; en este caso, es necesario transformar simultáneamente la matriz E.
3. Si es necesario, reordene las filas (ecuaciones) de la última tabla para que la matriz identidad E se obtenga debajo de la matriz A de la tabla original.
4. Escriba la matriz inversa A -1, que está en la última tabla debajo de la matriz E de la tabla original.

Ejemplo 1

Para la matriz A, encuentre la matriz inversa A -1

Solución: Anotamos la matriz A ya la derecha asignamos la matriz identidad E. Usando las transformaciones de Jordan, reducimos la matriz A a la matriz identidad E. Los cálculos se muestran en la Tabla 31.1.

Verifiquemos la exactitud de los cálculos multiplicando la matriz original A y la matriz inversa A -1.

Como resultado de la multiplicación de matrices se obtiene la matriz identidad. Por lo tanto, los cálculos son correctos.

Respuesta:

Solución de ecuaciones matriciales

Las ecuaciones matriciales pueden verse como:

AX = B, XA = B, AXB = C,

donde A, B, C son matrices dadas, X es la matriz deseada.

Las ecuaciones matriciales se resuelven multiplicando la ecuación por matrices inversas.

Por ejemplo, para encontrar la matriz de una ecuación, debe multiplicar esta ecuación por la izquierda.

Por lo tanto, para encontrar una solución a la ecuación, debe encontrar la matriz inversa y multiplicarla por la matriz del lado derecho de la ecuación.

Otras ecuaciones se resuelven de manera similar.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación AX = B si

Solución: Dado que la inversa de la matriz es igual (ver ejemplo 1)

Método matricial en análisis económico.

Junto con otros, también encuentran aplicación métodos matriciales. Estos métodos se basan en álgebra lineal y matricial vectorial. Dichos métodos se utilizan con el fin de analizar fenómenos económicos complejos y multidimensionales. Muy a menudo, estos métodos se utilizan cuando es necesario comparar el funcionamiento de las organizaciones y sus divisiones estructurales.

En el proceso de aplicación de métodos matriciales de análisis, se pueden distinguir varias etapas.

en la primera etapa se lleva a cabo la formación de un sistema de indicadores económicos y, sobre su base, se compila una matriz de datos iniciales, que es una tabla en la que se muestran los números del sistema en sus líneas individuales (i = 1,2,....,n), y a lo largo de los gráficos verticales - número de indicadores (j = 1,2,....,m).

En la segunda etapa para cada columna vertical se revela el mayor de los valores disponibles de los indicadores, que se toma como una unidad.

Después de eso, todas las cantidades reflejadas en esta columna se dividen por el valor más grande y se forma una matriz de coeficientes estandarizados.

En la tercera etapa todos los componentes de la matriz están elevados al cuadrado. Si tienen un significado diferente, a cada indicador de la matriz se le asigna un cierto coeficiente de ponderación k. El valor de este último lo determina un perito.

En el último cuarta etapa valores encontrados de calificaciones Rj agrupados en orden creciente o decreciente.

Los métodos de matriz anteriores se deben utilizar, por ejemplo, cuando análisis comparativo varios proyectos de inversión, así como al evaluar otros indicadores de desempeño económico de las organizaciones.

Considerar sistema de ecuaciones algebraicas lineales(LENTO) con respecto a norte desconocido X 1 , X 2 , ..., X norte :

Este sistema en una forma "plegada" se puede escribir de la siguiente manera:

S norte yo=1 a yo X j = segundo i , i=1,2, ..., n.

De acuerdo con la regla de la multiplicación de matrices, el sistema de ecuaciones lineales considerado se puede escribir en forma de matriz hacha=b, Dónde

Matriz A, cuyas columnas son los coeficientes de las incógnitas correspondientes, y las filas son los coeficientes de las incógnitas en la ecuación correspondiente se llama matriz del sistema. matriz de columnas b, cuyos elementos son las partes derechas de las ecuaciones del sistema, se denomina matriz de la parte derecha o simplemente lado derecho del sistema. matriz de columnas X , cuyos elementos son incógnitas desconocidas, se llama solución del sistema.

El sistema de ecuaciones algebraicas lineales escrito como hacha=b, es ecuación matricial.

Si la matriz del sistema no degenerado, entonces tiene una matriz inversa, y luego la solución al sistema hacha=b viene dada por la fórmula:

x=A -1 b.

Ejemplo Resuelve el sistema método matricial.

Solución encontrar la matriz inversa para la matriz de coeficientes del sistema

Calcula el determinante expandiendo sobre la primera fila:

Porque el Δ ≠ 0 , Eso A -1 existe

La matriz inversa se encuentra correctamente.

Encontremos una solución al sistema.

Por eso, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Examen:

7. El teorema de Kronecker-Capelli sobre la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Sistema de ecuaciones lineales parece:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

un m1 x 1 + un m1 x 2 +... + un min x norte = segundo metro .

Aquí se dan a i j y b i (i = ; j = ), y x j son números reales desconocidos. Usando el concepto de producto de matrices, podemos reescribir el sistema (5.1) en la forma:

donde A = (a i j) es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas del sistema (5.1), que se denomina matriz del sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vectores columna compuestos respectivamente por x j desconocidos y términos libres b i .

colección ordenada norte números reales (c 1 , c 2 ,..., c n) se llama solución del sistema(5.1) si como resultado de la sustitución de estos números en lugar de las correspondientes variables x 1 , x 2 ,..., x n cada ecuación del sistema se convierte en una identidad aritmética; es decir, si existe un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tal que AC  B.

El sistema (5.1) se llama articulación, o soluble si tiene al menos una solución. El sistema se llama incompatible, o insoluble si no tiene soluciones.

,

formado asignando una columna de términos libres a la matriz A de la derecha, se llama sistema matricial extendido.

La cuestión de la compatibilidad del sistema (5.1) se resuelve mediante el siguiente teorema.

Teorema de Kronecker-Capelli . El sistema de ecuaciones lineales es consistente si y solo si los rangos de las matrices A y A coinciden, es decir r(A) = r(A) = r.

Para el conjunto M de soluciones del sistema (5.1), existen tres posibilidades:

1) M =  (en este caso el sistema es inconsistente);

2) M consta de un elemento, es decir, el sistema tiene solución única (en este caso el sistema se llama cierto);

3) M consta de más de un elemento (entonces el sistema se llama incierto). En el tercer caso, el sistema (5.1) tiene un número infinito de soluciones.

El sistema tiene solución única sólo si r(A) = n. En este caso, el número de ecuaciones no es menor que el número de incógnitas (mn); si m>n, entonces m-n ecuaciones son consecuencias del resto. Si 0

Para resolver un sistema arbitrario de ecuaciones lineales, uno debe ser capaz de resolver sistemas en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, los llamados Sistemas tipo Cramer:

un 11 x 1 + un 12 x 2 +... + un 1n x norte = segundo 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

un n1 X 1 + un n1 X 2 +... + un nn X norte = segundo norte .

Los sistemas (5.3) se resuelven de una de las siguientes maneras: 1) por el método de Gauss, o por el método de eliminación de incógnitas; 2) según las fórmulas de Cramer; 3) por el método matricial.

Ejemplo 2.12. Investiga el sistema de ecuaciones y resuélvelo si es compatible:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Solución. Escribimos la matriz extendida del sistema:

 .

Calculemos el rango de la matriz principal del sistema. Es obvio que, por ejemplo, el menor de segundo orden en la esquina superior izquierda = 7  0; los menores de tercer orden que lo contienen son iguales a cero:

Por tanto, el rango de la matriz principal del sistema es 2, es decir r(A) = 2. Para calcular el rango de la matriz extendida A, considere el menor limítrofe

por tanto, el rango de la matriz extendida es r(A) = 3. Como r(A)  r(A), el sistema es inconsistente.

11. Expresión del producto escalar de un vector en función de las coordenadas de los factores. Teorema.

12. Longitud de un vector, longitud de un segmento, ángulo entre vectores, condición de perpendicularidad de los vectores.

13. Producto vectorial de vectores, sus propiedades. El área de un paralelogramo.

14. Producto mixto de vectores, sus propiedades. La condición de concordancia vectorial. El volumen del paralelepípedo. El volumen de la pirámide.

15. Métodos para trazar una línea recta en un plano.

16. Ecuación normal de una recta sobre un plano (derivación). El significado geométrico de los coeficientes.

17. La ecuación de una recta sobre un plano en segmentos (conclusión).

Reducción de la ecuación general del plano a la ecuación del plano en segmentos.

18. La ecuación de una línea recta en un plano con pendiente (salida).

19. Ecuación de una recta sobre un plano que pasa por dos puntos (conclusión).

20. Ángulo entre rectas en un plano (conclusión).

21. Distancia de un punto a una recta en un plano (salida).

22. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de las rectas sobre un plano (conclusión).

23. La ecuación del plano. Ecuación normal del plano (derivación). El significado geométrico de los coeficientes.

24. La ecuación del plano en segmentos (conclusión).

25. Ecuación de un plano que pasa por tres puntos (salida).

26. Ángulo entre planos (salida).

27. Distancia de un punto a un plano (salida).

28. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de los planos (conclusión).

29. Ecuaciones de una recta en r3. Ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos fijos (derivación).

30. Ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio (derivación).

Recopilación de ecuaciones canónicas de una recta en el espacio.

Casos particulares de ecuaciones canónicas de una recta en el espacio.

Ecuaciones canónicas de una línea recta que pasa por dos puntos dados en el espacio.

Transición de ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio a otros tipos de ecuaciones de una línea recta.

31. Ángulo entre rectas (salida).

32. Distancia de un punto a una línea recta en un plano (salida).

Distancia de un punto a una línea recta en un plano: teoría, ejemplos, soluciones.

La primera forma de encontrar la distancia desde un punto dado a una línea recta dada en un plano.

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Resolver problemas sobre cómo encontrar la distancia desde un punto dado a una línea recta dada en un plano.

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La primera forma de encontrar la distancia de un punto a una línea en el espacio.

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33. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de las líneas en el espacio.

34. Disposición mutua de rectas en el espacio y de una recta con un plano.

35. La ecuación clásica de una elipse (derivación) y su construcción. La ecuación canónica de una elipse tiene la forma, donde son números reales positivos, además ¿Cómo construir una elipse?

36. La ecuación clásica de una hipérbola (derivación) y su construcción. Asíntotas.

37. Ecuación canónica de una parábola (derivación) y construcción.

38. Función. Definiciones basicas. Gráficas de funciones elementales básicas.

39. Secuencias numéricas. El límite de la secuencia numérica.

40. Cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. El teorema sobre la conexión entre ellos, propiedades.

41. Teoremas sobre acciones sobre variables de límites finitos.

42. Número e.

Contenido

Métodos para determinar

Propiedades

Historia

Aproximaciones

43. Definición del límite de una función. Revelación de incertidumbres.

44. Límites notables, su conclusión. Cantidades infinitesimales equivalentes.

Contenido

Primer límite maravilloso

El segundo límite maravilloso

45. Límites unilaterales. Continuidad y discontinuidades de función. Límites unilaterales

Límites izquierdo y derecho de una función

Punto de discontinuidad de primera clase

Punto de discontinuidad de segunda clase

punto de quiebre

46. ​​Definición de derivado. Significado geométrico, significado mecánico de la derivada. Ecuaciones tangentes y normales para una curva y un punto.

47. Teoremas sobre la derivada de funciones inversas, complejas.

48. Derivadas de las funciones elementales más simples.

49. Diferenciación de funciones paramétricas, implícitas y exponenciales.

21. Diferenciación de funciones implícitas y definidas paramétricamente

21.1. Función implícita

21.2. Función definida paramétricamente

50. Derivados de órdenes superiores. fórmula de Taylor.

51. Diferencial. Aplicación del diferencial a cálculos aproximados.

52. Teoremas de Rolle, Lagrange, Cauchy. Regla de L´Hopital.

53. Teorema de las condiciones necesarias y suficientes para la monotonicidad de una función.

54. Determinación del máximo, mínimo de una función. Teoremas sobre las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un extremo de una función.

Teorema (condición extrema necesaria)

55. Convexidad y concavidad de las curvas. Puntos de inflexión. Teoremas sobre condiciones necesarias y suficientes para la existencia de puntos de inflexión.

Prueba

57. Determinantes de orden n-ésimo, sus propiedades.

58. Matrices y acciones sobre ellas. Rango de la matriz.

Definición

Definiciones relacionadas

Propiedades

Transformación lineal y rango de matriz

59. Matriz inversa. Teorema sobre la existencia de una matriz inversa.

60. Sistemas de ecuaciones lineales. Solución matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer. método de Gauss. El teorema de Kronecker-Capelli.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, métodos de solución, ejemplos.

Definiciones, conceptos, denominaciones.

Solución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Cramer.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial (usando la matriz inversa).

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Registro de la solución general de sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones.

Solución de sistemas de ecuaciones reductores a slough.

Ejemplos de problemas que se reducen a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial (usando la matriz inversa).

Deje que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se dé en forma matricial, donde la matriz A tiene la dimensión norte en norte y su determinante es distinto de cero.

Como , entonces la matriz A es invertible, es decir, hay una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad a la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar la matriz columna de variables desconocidas. Entonces obtuvimos la solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial.

método matricial.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque entonces SLAE se puede resolver por el método matricial. Usando la matriz inversa, la solución a este sistema se puede encontrar como .

Construimos una matriz inversa usando una matriz de complementos algebraicos de elementos de matriz A(si es necesario, consulte los métodos del artículo para encontrar la matriz inversa):

Queda por calcular: la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa en una columna de matriz de miembros libres (si es necesario, consulte el artículo sobre operaciones en matrices):

o en otra entrada X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

El principal problema para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales por el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas de orden superior al tercero.

Para obtener una descripción más detallada de la teoría y ejemplos adicionales, consulte el artículo Método matricial para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución para el sistema a partir de norte ecuaciones lineales con norte variables desconocidas cuyo determinante de la matriz principal es distinto de cero.

La esencia del método de Gauss consiste en la exclusión sucesiva de variables desconocidas: primero, la X 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda, luego X 2 de todas las ecuaciones, comenzando con la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida en la última ecuación X norte. Tal proceso de transformación de las ecuaciones del sistema para la eliminación sucesiva de variables desconocidas se llama método directo de Gauss. Después de completar el movimiento hacia adelante del método de Gauss, de la última ecuación encontramos X norte, usando este valor de la penúltima ecuación se calcula X n-1, y así sucesivamente, a partir de la primera ecuación se encuentra X 1 . El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama método de Gauss inverso.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Asumiremos que , ya que siempre podemos lograr esto reordenando las ecuaciones del sistema. Elimina la variable desconocida X 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda. Para ello, sumamos la primera ecuación multiplicada por a la segunda ecuación del sistema, sumamos la primera multiplicada por la tercera ecuación, y así sucesivamente, hasta n-ésimo suma la primera ecuación, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma donde un .

Llegaríamos al mismo resultado si expresamos X 1 a través de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y la expresión resultante se sustituyó en todas las demás ecuaciones. Entonces la variable X 1 excluidos de todas las ecuaciones, comenzando con el segundo.

A continuación, actuamos de manera similar, pero solo con una parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para hacer esto, agregue el segundo multiplicado por a la tercera ecuación del sistema, agregue el segundo multiplicado por a la cuarta ecuación, y así sucesivamente, hasta n-ésimo suma la segunda ecuación, multiplicada por. El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma donde un . Entonces la variable X 2 excluidos de todas las ecuaciones, comenzando con el tercero.

A continuación, procedemos a la eliminación de la incógnita. X 3 , mientras que de manera similar actuamos con la parte del sistema marcada en la figura

Entonces continuamos el curso directo del método de Gauss hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento, comenzamos el proceso inverso al método de Gauss: calculamos X norte de la última ecuación como, usando el valor obtenido X norte encontrar X n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos X 1 de la primera ecuación.

Resolver Sistema de Ecuaciones Lineales método gaussiano.

Elimina la variable desconocida X 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambas partes de la segunda y tercera ecuaciones, sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos de la tercera ecuación X 2 , sumando a sus partes izquierda y derecha las partes izquierda y derecha de la segunda ecuación, multiplicado por:

En esto, se completa el curso directo del método de Gauss, comenzamos el curso inverso.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante, encontramos X 3 :

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y esto completa el curso inverso del método de Gauss.

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Para obtener información más detallada y ejemplos adicionales, consulte la sección sobre resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Gauss.

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"

Según las fórmulas de Cramer;

método de Gauss;

Solución: El teorema de Kronecker-Capelli. Un sistema es consistente si y solo si el rango de la matriz de este sistema es igual al rango de su matriz extendida, es decir r(A)=r(un 1), Dónde

La matriz extendida del sistema tiene la forma:

Multiplica la primera fila por ( –3 ), y el segundo en ( 2 ); luego agregue los elementos de la primera fila a los elementos correspondientes de la segunda fila; Resta la tercera línea de la segunda línea. En la matriz resultante, la primera fila se deja sin cambios.

6 ) e intercambie la segunda y la tercera línea:

Multiplica la segunda fila por ( –11 ) y agregar a los elementos correspondientes de la tercera fila.

Divide los elementos de la tercera fila por ( 10 ).

Encontremos el determinante de la matriz A.

Por eso, r(A)=3 . Rango de matriz extendida r(un 1) también es igual a 3 , es decir.

r(A)=r(un 1)=3 Þ el sistema es compatible.

1) Examinando la compatibilidad del sistema, la matriz aumentada fue transformada por el método de Gauss.

El método de Gauss es el siguiente:

1. Llevar la matriz a una forma triangular, es decir, los ceros deben estar debajo de la diagonal principal (movimiento hacia adelante).

2. De la última ecuación encontramos x3 y lo sustituimos en el segundo, encontramos x2, y sabiendo x3, x2 sustituyéndolos en la primera ecuación, encontramos x1(movimiento inverso).

Escribamos la matriz aumentada, transformada por el método de Gauss

como un sistema de tres ecuaciones:

Þ x 3 \u003d 1

x2 = x3Þ x 3 \u003d 1

2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x1 =4+1+1Þ

Þ 2x1 =6 Þ x 1 \u003d 3

.

2) Resolvemos el sistema usando las fórmulas de Cramer: si el determinante del sistema de ecuaciones Δ es diferente de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se encuentra mediante las fórmulas

Calculemos el determinante del sistema Δ:

Porque el determinante del sistema es distinto de cero, entonces de acuerdo con la regla de Cramer, el sistema tiene una solución única. Calculamos los determinantes Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Se obtienen a partir del determinante del sistema Δ reemplazando la columna correspondiente por la columna de coeficientes libres.

Encontramos las incógnitas usando las fórmulas:

Respuesta: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .

3) Resolvemos el sistema mediante cálculo matricial, es decir, utilizando la matriz inversa.

A×X=B Þ X \u003d A -1 × B, Dónde A-1 es la matriz inversa de A,

columna de miembros libres,

Matriz-columna de incógnitas.

La matriz inversa se calcula mediante la fórmula:

Dónde D- determinante matricial A, y yo son los complementos algebraicos del elemento a yo matrices A. D= 60 (del párrafo anterior). El determinante es distinto de cero, por lo tanto, la matriz A es invertible, y la matriz inversa a ella se puede encontrar mediante la fórmula (*). Encontremos sumas algebraicas para todos los elementos de la matriz A mediante la fórmula:

y ij =(-1 )i+j M ij .

x 1, x 2, x 3 convirtieron cada ecuación en una identidad, luego se encuentran correctamente.

Ejemplo 6. Resuelva el sistema usando el método de Gauss y encuentre dos soluciones básicas cualesquiera del sistema.