Matemaatikas on nii teoreetilises kui ka rakenduslikus erilisel kohal võrrandid üldiselt, lineaarsed algebralised võrrandid ja nende süsteemid, samuti nende lahendamise meetodid.
See on tingitud asjaolust, et valdav osa füüsilisi, majanduslikke, tehnilisi ja isegi pedagoogilisi probleeme saab kirjeldada ja lahendada mitmesuguste võrrandite ja nende süsteemide abil. Viimasel ajal on matemaatiline modelleerimine saavutanud erilise populaarsuse teadlaste, teadlaste ja praktikute seas peaaegu kõigis ainevaldkondades, mis on seletatav selle ilmsete eelistega võrreldes teiste tuntud ja tõestatud meetodite ees erinevat laadi objektide, eriti nn komplekssete objektide uurimisel. süsteemid. Teadlaste poolt erinevatel aegadel antud matemaatilise mudeli erinevaid definitsioone on väga palju, kuid meie arvates on kõige edukam järgmine väide. Matemaatiline mudel on võrrandiga väljendatud idee. Seega on võrrandite ja nende süsteemide koostamise ja lahendamise oskus tänapäeva spetsialisti lahutamatu omadus.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks kasutatakse kõige sagedamini Crameri, Jordan-Gaussi ja maatriksmeetodit.
Maatrikslahendusmeetod on meetod nullist erineva determinandiga lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks pöördmaatriksi abil.
Kui kirjutada maatriksis A tundmatute suuruste xi koefitsiendid, koguda tundmatud suurused vektori veergu X ja vabad liikmed vektori veergu B, siis saab lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi kirjutada kujul järgnev maatriksvõrrand A · X = B, millel on kordumatu lahendus ainult siis, kui maatriksi A determinant ei ole võrdne nulliga. Sel juhul võib võrrandisüsteemi lahenduse leida järgmiselt X = A-1 · B, Kus A-1 on pöördmaatriks.
Maatrikslahenduse meetod on järgmine.
Olgu meile antud lineaarvõrrandisüsteem n teadmata:
Seda saab maatriksi kujul ümber kirjutada: AX = B, Kus A- süsteemi põhimaatriks, B Ja X- vastavalt süsteemi vabade terminite ja lahenduste veerud:
Korrutame selle vasakpoolse maatriksvõrrandi arvuga A-1 - maatriksi pöördvõrdeline maatriks A: A -1 (AX) = A -1 B
Sest A -1 A = E, saame X=A -1 B. Selle võrrandi parem pool annab algse süsteemi lahendusveeru. Selle meetodi rakendatavuse tingimus (nagu ka mittehomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse üldine olemasolu, mille võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga) on maatriksi mittedegenereerumine. A. Selle vajalik ja piisav tingimus on see, et maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga A:det A≠ 0.
Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi jaoks, st kui vektor B = 0 , tõepoolest vastupidine reegel: süsteem AX = 0-l on mittetriviaalne (st nullist erinev) lahendus ainult siis, kui det A= 0. Sellist seost homogeensete ja mittehomogeensete lineaarvõrrandisüsteemide lahendite vahel nimetatakse Fredholmi alternatiiviks.
Näide lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeense süsteemi lahendused.
Veenduge, et lineaarse algebralise võrrandi süsteemi tundmatute kordajatest koosneva maatriksi determinant ei oleks võrdne nulliga.
Järgmise sammuna arvutatakse tundmatute koefitsientidest koosneva maatriksi elementide algebralised täiendid. Neid läheb vaja pöördmaatriksi leidmiseks.
Olgu n-ndat järku ruutmaatriks
Maatriks A -1 nimetatakse pöördmaatriks maatriksi A suhtes, kui A*A -1 = E, kus E on n-ndat järku identsusmaatriks.
Identiteedi maatriks- selline ruutmaatriks, milles kõik elemendid piki põhidiagonaali, mis lähevad ülemisest vasakust nurgast paremasse alumisse nurka, on ühed ja ülejäänud on nullid, näiteks:
pöördmaatriks võib eksisteerida ainult ruutmaatriksite jaoks need. nende maatriksite jaoks, milles ridade ja veergude arv langeb kokku.
Pöördmaatriksi olemasolutingimuse teoreem
Selleks, et maatriksil oleks pöördmaatriks, on vajalik ja piisav, et see ei oleks ainsus.
Maatriksit A = (A1, A2,...A n) nimetatakse mitte-mandunud, kui veeruvektorid on lineaarselt sõltumatud. Maatriksi lineaarselt sõltumatute veeruvektorite arvu nimetatakse maatriksi auastmeks. Seetõttu võime öelda, et pöördmaatriksi eksisteerimiseks on vajalik ja piisav, et maatriksi aste oleks võrdne selle mõõtmega, s.t. r = n.
Maatriksi A jaoks leidke pöördmaatriks A -1
Lahendus: Kirjutame maatriksi A ja omistame paremale identiteedimaatriksi E. Jordani teisendusi kasutades taandame maatriksi A identiteedimaatriksiks E. Arvutused on toodud tabelis 31.1.
Kontrollime arvutuste õigsust, korrutades algmaatriksi A ja pöördmaatriksi A -1.
Maatriksi korrutamise tulemusena saadi identsusmaatriks. Seetõttu tehti arvutused õigesti.
Vastus: 
Maatriksvõrrandid võivad välja näha järgmised:
AX = B, HA = B, AXB = C,
kus A, B, C on määratud maatriksid, X on soovitud maatriks.
Maatriksvõrrandid lahendatakse võrrandi korrutamisel pöördmaatriksitega.
Näiteks maatriksi leidmiseks võrrandist peate selle võrrandi korrutama vasakul olevaga.
Seetõttu tuleb võrrandile lahenduse leidmiseks leida pöördmaatriks ja korrutada see võrrandi paremal küljel oleva maatriksiga.
Teised võrrandid lahendatakse sarnaselt.
Lahendage võrrand AX = B, kui 
Lahendus: Kuna pöördmaatriks on võrdne (vt näide 1)
Koos teistega kasutatakse ka neid maatriksmeetodid. Need meetodid põhinevad lineaar- ja vektormaatriksalgebral. Selliseid meetodeid kasutatakse keerukate ja mitmemõõtmeliste majandusnähtuste analüüsimiseks. Kõige sagedamini kasutatakse neid meetodeid siis, kui on vaja anda võrdlev hinnang organisatsioonide ja nende struktuuriüksuste toimimisele.
Maatriksanalüüsi meetodite rakendamise protsessis võib eristada mitmeid etappe.
Esimesel etapil moodustatakse majandusnäitajate süsteem ja selle põhjal koostatakse lähteandmete maatriks, milleks on tabel, mille üksikutel ridadel on süsteeminumbrid näidatud (i = 1,2,....,n), ja vertikaalsetes veergudes - indikaatorite numbrid (j = 1,2,....,m).
Teises etapis Iga vertikaalse veeru jaoks tuvastatakse suurim saadaolevatest indikaatori väärtustest, mida peetakse üheks.
Pärast seda jagatakse kõik selles veerus kajastatud summad suurima väärtusega ja moodustatakse standardiseeritud koefitsientide maatriks.
Kolmandas etapis kõik maatriksi komponendid on ruudus. Kui neil on erinev tähendus, määratakse igale maatriksinäitajale teatud kaalukoefitsient k. Viimase väärtuse määrab ekspertarvamus.
Viimasel, neljas etapp leitud reitinguväärtused R j on rühmitatud nende suurenemise või vähenemise järjekorras.
Väljatoodud maatriksmeetodeid tuleks kasutada näiteks siis, kui võrdlev analüüs erinevates investeerimisprojektides, samuti organisatsioonide muude majandusnäitajate hindamisel.
Mõelgem lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem(SLAU) suhteliselt n teadmata x 1 , x 2 , ..., x n :
Selle süsteemi "ahendatud" kujul saab kirjutada järgmiselt:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Vastavalt maatrikskorrutamise reeglile saab vaadeldava lineaarvõrrandisüsteemi sisse kirjutada maatriksvorm Ax=b, Kus
Maatriks A, mille veerud on vastavate tundmatute koefitsiendid ja read on tundmatute koefitsiendid vastavas võrrandis on nn. süsteemi maatriks. Veeru maatriks b, mille elemendid on süsteemi võrrandite parempoolsed küljed, nimetatakse parempoolseks maatriksiks või lihtsalt süsteemi paremal küljel. Veeru maatriks x , mille elemendid on tundmatud tundmatud, nimetatakse süsteemne lahendus.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis on kirjutatud kujul Ax=b, on maatriksvõrrand.
Kui süsteemimaatriks mitte-mandunud, siis on sellel pöördmaatriks ja siis on süsteemi lahendus Ax=b on antud valemiga:
x=A -1 b.
Näide Lahendage süsteem 
maatriks meetod.
Lahendus leiame süsteemi koefitsientide maatriksi pöördmaatriksi
Arvutame determinandi, laiendades seda esimest rida:
Kuna Δ ≠ 0 , See A -1 on olemas.
Pöördmaatriks leiti õigesti.
Leiame süsteemile lahenduse 
Seega x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Eksam: 
Lineaarvõrrandi süsteem on kujul:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Siin on antud a i j ja b i (i = ; j = ) ning x j on tundmatud reaalarvud. Kasutades maatriksite korrutise kontseptsiooni, saame süsteemi (5.1) ümber kirjutada kujul:
kus A = (a i j) on süsteemi (5.1) tundmatute koefitsientidest koosnev maatriks, mida nimetatakse süsteemi maatriks, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T on veeruvektorid, mis koosnevad vastavalt tundmatutest x j ja vabadest liikmetest b i .
Tellitud kollektsioon n kutsutakse reaalarvusid (c 1, c 2,..., c n). süsteemne lahendus(5.1), kui nende arvude asendamise tulemusena vastavate muutujate x 1, x 2,..., x n asemel muutub süsteemi iga võrrand aritmeetiliseks identiteediks; teisisõnu, kui on olemas vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T nii, et AC B.
Süsteem (5.1) kutsutakse liigend, või lahendatav, kui sellel on vähemalt üks lahendus. Süsteemi nimetatakse Sobimatu, või lahendamatu, kui sellel pole lahendusi.
,
mis on moodustatud vabade terminite veeru määramisel paremal asuvale maatriksile A kutsutakse süsteemi laiendatud maatriks.
Süsteemi (5.1) ühilduvuse küsimus lahendatakse järgmise teoreemiga.
Kroneckeri-Capelli teoreem . Lineaarvõrrandisüsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui maatriksite A jaA järgud langevad kokku, s.t. r(A) = r(A) = r.
Süsteemi (5.1) lahenduste hulga M jaoks on kolm võimalust:
1) M = (sel juhul on süsteem ebaühtlane);
2) M koosneb ühest elemendist, s.o. süsteemil on ainulaadne lahendus (sel juhul nimetatakse süsteemi teatud);
3) M koosneb rohkem kui ühest elemendist (siis nimetatakse süsteemi ebakindel). Kolmandal juhul on süsteemil (5.1) lõpmatu arv lahendeid.
Süsteemil on kordumatu lahendus ainult siis, kui r(A) = n. Sel juhul ei ole võrrandite arv väiksem kui tundmatute arv (mn); kui m>n, siis m-n võrrandid on teiste tagajärjed. Kui 0 Suvalise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks tuleb osata lahendada süsteeme, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga – nn. Cramer tüüpi süsteemid: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Süsteemid (5.3) lahendatakse ühel järgmistest viisidest: 1) Gaussi meetod ehk tundmatute kõrvaldamise meetod; 2) Crameri valemite järgi; 3) maatriksmeetod. Näide 2.12. Uurige võrrandisüsteemi ja lahendage see, kui see on kooskõlas: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Lahendus. Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi:
Arvutame välja süsteemi põhimaatriksi auastme. On ilmne, et näiteks teist järku moll vasakus ülanurgas = 7 0; seda sisaldavad kolmandat järku alaealised on võrdsed nulliga: Järelikult on süsteemi põhimaatriksi auaste 2, s.o. r(A) = 2. Laiendatud maatriksi A auastme arvutamiseks arvestage piirnevat minoori see tähendab, et laiendatud maatriksi aste r(A) = 3. Kuna r(A) r(A), on süsteem ebaühtlane. Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul , kus maatriks A on dimensioon n peal n ja selle determinant on nullist erinev. Alates , siis maatriks A– on inverteeritav, see tähendab, et on olemas pöördmaatriks. Kui korrutada võrdsuse mõlemad pooled vasakule, saame valemi tundmatute muutujate maatriks-veeru leidmiseks. Nii saime maatriksmeetodil lahenduse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemile. Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul: Sest Koostame maatriksi elementide algebralistest täienditest maatriksi abil pöördmaatriksi A(vajadusel vaadake artikli meetodeid pöördmaatriksi leidmiseks): Jääb üle arvutada tundmatute muutujate maatriks, korrutades pöördmaatriksi Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul. Teooria täpsemat kirjeldust ja lisanäiteid leiate artikli maatriksmeetodist lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Lehe ülaosa Oletame, et peame leidma süsteemile lahenduse n lineaarvõrrandid n tundmatud muutujad Gaussi meetodi olemus koosneb tundmatute muutujate järjestikusest kõrvaldamisest: esmalt elimineerimine x 1
süsteemi kõigist võrranditest alates teisest on veelgi välja jäetud x 2
kõigist võrranditest, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni viimasesse võrrandisse jääb ainult tundmatu muutuja x n. Seda süsteemivõrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks kõrvaldamiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasiliikumise lõpetamist leiame viimasest võrrandist x n, kasutades seda väärtust eelviimasest võrrandist, mille me arvutame x n-1 ja nii edasi, alates esimesest leitud võrrandist x 1
. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse Gaussi meetodi pöördvõrdeline. Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi. Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Kõrvaldage tundmatu muutuja x 1
süsteemi kõikidest võrranditest, alustades teisest. Selleks lisame süsteemi teisele võrrandile esimese, korrutatuna, kolmandale võrrandile lisame esimese, korrutatuna jne. nth võrrandile liidame esimese korrutatuna. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju Kui väljendaksime, jõuaksime sama tulemuseni x 1
läbi teiste tundmatute muutujate süsteemi esimeses võrrandis ja saadud avaldis asendati kõigi teiste võrranditega. Nii et muutuja x 1
kõigist võrranditest välja jäetud, alates teisest. Järgmisena jätkame sarnaselt, kuid ainult osaga saadud süsteemist, mis on joonisel märgitud Selleks lisame süsteemi kolmandale võrrandile teise, korrutatuna, neljandale võrrandile lisame teise, korrutatuna ja nii edasi. nth võrrandile lisame teise, korrutatuna. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju Järgmisena jätkame tundmatu kõrvaldamisega x 3
, toimime sel juhul sarnaselt joonisel märgitud süsteemiosaga Seega jätkame Gaussi meetodi otsest edenemist, kuni süsteem võtab kuju Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist: arvutame x n viimasest võrrandist as, kasutades saadud väärtust x n leiame x n-1 eelviimasest võrrandist ja nii edasi, leiame x 1
esimesest võrrandist. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Kõrvaldage tundmatu muutuja x 1
süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale poolele esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna ja vastavalt: Nüüd jätame kolmandast võrrandist välja x 2
, lisades selle vasakule ja paremale poolele teise võrrandi vasaku ja parema külje, korrutatuna järgmisega: See lõpetab Gaussi meetodi edasikäigu; alustame tagurpidikäiku. Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3
: Teisest võrrandist saame . Esimesest võrrandist leiame allesjäänud tundmatu muutuja ja lõpetame sellega Gaussi meetodi vastupidise variandi. x 1
= 4, x 2
= 0, x 3
=
-1
. Täpsemat infot ja lisanäiteid leiate peatükist lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendamisest Gaussi meetodil. Lehe ülaosa Crameri valemite järgi; Gaussi meetod; Lahendus: Kronecker-Capelli teoreem. Süsteem on järjekindel siis ja ainult siis, kui selle süsteemi maatriksi auaste on võrdne selle laiendatud maatriksi astmega, s.t. r(A)=r(A 1), Kus Süsteemi laiendatud maatriks näeb välja selline: Korrutage esimene rida arvuga ( –3
) ja teine kuni ( 2
); Pärast seda lisage esimese rea elemendid teise rea vastavatele elementidele; lahutage teisest reast kolmas. Saadud maatriksis jätame esimese rea muutmata. 6
) ja vahetage teine ja kolmas rida: Korrutage teine rida arvuga ( –11
) ja lisage kolmanda rea vastavatele elementidele. Jagage kolmanda rea elemendid arvuga ( 10
). Leiame maatriksi determinandi A. Seega r(A)=3
. Laiendatud Matrix Rank r(A 1) on samuti võrdne 3
, st. r(A)=r(A 1)=3
Þ Süsteem on koostööaldis. 1) Süsteemi järjepidevuse uurimisel teisendati laiendatud maatriks Gaussi meetodil. Gaussi meetod on järgmine: 1. Maatriksi taandamine kolmnurkseks, st põhidiagonaali all peaksid olema nullid (otsene liikumine). 2. Viimasest võrrandist leiame x 3 ja asendame selle teisega, leiame x 2, ja teades x 3, x 2 me asendame need esimese võrrandiga, leiame x 1(tagurpidi). Kirjutame Gaussi teisendatud laiendatud maatriksi kolmest võrrandist koosneva süsteemi kujul: Þ x 3 =1 x 2 = x 3Þ x 3 =1 2x1 =4+x2+x3Þ 2x 1 =4+1+1Þ Þ 2x 1 = 6 Þ x 1 =3 .
2) Lahendame süsteemi Crameri valemite abil: kui võrrandisüsteemi determinant Δ erineb nullist, siis on süsteemil unikaalne lahendus, mis leitakse valemite abil Arvutame süsteemi determinandi Δ: Sest Kui süsteemi determinant erineb nullist, siis Crameri reegli järgi on süsteemil unikaalne lahendus. Arvutame determinandid Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 . Need saadakse süsteemi determinandist Δ, asendades vastava veeru vabade koefitsientide veeruga. Leiame tundmatud valemite abil: Vastus: x 1 =3, x 2 =1, x 3 =1 .
3) Lahendame süsteemi maatriksarvutuse ehk pöördmaatriksi abil. A × X = B Þ X = A -1 × B, Kus A -1– pöördmaatriks to A, Vabaliikmete veerg, Maatriks-tundmatute veerg. Pöördmaatriks arvutatakse järgmise valemi abil: Kus D- maatriksdeterminant A, A ij– elemendi a algebralised täiendid ij maatriksid A. D= 60 (eelmisest lõigust). Determinant on nullist erinev, seetõttu on maatriks A inverteeritav ja selle pöördmaatriksi saab leida valemi (*) abil. Leiame kõigi maatriksi A elementide algebralised täiendid valemi abil: Ja ij =(-1
)i+j M ij . x 1, x 2, x 3 muutsid iga võrrandi identiteediks, siis leiti need õigesti. Näide 6.
Lahendage süsteem Gaussi meetodil ja leidke süsteemi kaks põhilahendust.
.
Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).
maatriks meetod.
siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodi abil. Kasutades pöördmaatriksit, võib selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt 
.
vabaliikmete maatriks-veerule (vajadusel vaadake artiklite tehteid maatriksite kohta): 
või mõnes teises postituses x 1
= 4, x 2
= 0, x 3
= -1
.Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.
kus ja 
.
kus ja 
. Nii et muutuja x 2
jäetakse välja kõigist võrranditest alates kolmandast.
Gaussi meetod.
"
