सामान्य रूप से समीकरण, रैखिक बीजगणितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह के गणित में एक विशेष स्थान रखते हैं।
यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश भौतिक, आर्थिक, तकनीकी और यहां तक कि शैक्षणिक समस्याओं का वर्णन किया जा सकता है और विभिन्न समीकरणों और उनकी प्रणालियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हाल ही में, गणितीय मॉडलिंग ने लगभग सभी विषय क्षेत्रों में शोधकर्ताओं, वैज्ञानिकों और चिकित्सकों के बीच विशेष लोकप्रियता हासिल की है, जो कि विभिन्न प्रकृति की वस्तुओं के अध्ययन के लिए अन्य प्रसिद्ध और सिद्ध तरीकों पर इसके स्पष्ट लाभों द्वारा समझाया गया है, विशेष रूप से, तथाकथित जटिल सिस्टम। वैज्ञानिकों द्वारा अलग-अलग समय पर दी गई गणितीय मॉडल की विभिन्न परिभाषाओं की एक विशाल विविधता है, लेकिन हमारी राय में, सबसे सफल निम्नलिखित कथन है। एक गणितीय मॉडल एक समीकरण द्वारा व्यक्त एक विचार है। इस प्रकार, समीकरणों और उनकी प्रणालियों को बनाने और हल करने की क्षमता एक आधुनिक विशेषज्ञ की एक अभिन्न विशेषता है।
रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए, सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ हैं: क्रैमर, जॉर्डन-गॉस और मैट्रिक्स विधि।
मैट्रिक्स समाधान विधि - व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि।
यदि हम मैट्रिक्स ए में अज्ञात मानों xi के लिए गुणांक लिखते हैं, अज्ञात मानों को कॉलम X वेक्टर में और मुक्त शब्दों को कॉलम B वेक्टर में एकत्र करते हैं, तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को लिखा जा सकता है निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = बी का रूप, जिसका एकमात्र समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। इस स्थिति में, समीकरणों के निकाय का हल निम्न प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है एक्स = ए-1 · बी, कहाँ ए-1 - उलटा मैट्रिक्स।
मैट्रिक्स समाधान विधि इस प्रकार है।
के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए एनअज्ञात:
इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ ए- सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, बीऔर एक्स- मुक्त सदस्यों के कॉलम और सिस्टम के समाधान, क्रमशः:
इस मैट्रिक्स समीकरण को बाईं ओर से गुणा करें ए-1 - मैट्रिक्स का उलटा मैट्रिक्स ए: ए -1 (कुल्हाड़ी) = ए -1 बी
क्योंकि ए -1 ए = इ, हम पाते हैं एक्स= ए -1 बी. इस समीकरण का दाहिना हाथ मूल प्रणाली के समाधान का एक स्तंभ देगा। इस पद्धति की प्रयोज्यता के लिए शर्त (साथ ही अज्ञात की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ रैखिक समीकरणों की एक विषम प्रणाली के समाधान का सामान्य अस्तित्व) मैट्रिक्स की गैर-विकृति है ए. इसके लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक ए: पता ए≠ 0.
रेखीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए, यानी जब वेक्टर बी = 0 , वास्तव में विपरीत नियम: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 का एक गैर-तुच्छ (अर्थात, गैर-शून्य) समाधान केवल अगर det है ए= 0. रैखिक समीकरणों के सजातीय और विषम प्रणालियों के समाधान के बीच इस तरह के संबंध को फ्रेडहोम विकल्प कहा जाता है।
उदाहरण रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक विषम प्रणाली के समाधान.
आइए हम सुनिश्चित करें कि रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात के गुणांक से बना मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।
अगला कदम अज्ञात के गुणांक वाले मैट्रिक्स के तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरक की गणना करना है। उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए उनकी आवश्यकता होगी।
बता दें कि nवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है
मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है उलटा मैट्रिक्समैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि ए * ए -1 = ई, जहां ई n वें क्रम की पहचान मैट्रिक्स है।
शिनाख्त सांचा- ऐसा वर्ग मैट्रिक्स, जिसमें मुख्य विकर्ण के साथ सभी तत्व, ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाते हैं, एक हैं, और बाकी शून्य हैं, उदाहरण के लिए:
उलटा मैट्रिक्समौजूद हो सकता है केवल स्क्वायर मैट्रिसेस के लिएवे। उन आव्यूहों के लिए जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है।
व्युत्क्रम मैट्रिक्स अस्तित्व स्थिति प्रमेय
एक मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह अप्रतिबंधित हो।
आव्यूह A = (A1, A2,...A n) कहलाता है गैर पतितयदि कॉलम वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम वैक्टर की संख्या को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स का रैंक उसके आयाम के बराबर है, अर्थात आर = एन।
मैट्रिक्स ए के लिए, उलटा मैट्रिक्स ए -1 खोजें
समाधान: हम मैट्रिक्स ए लिखते हैं और दाईं ओर हम पहचान मैट्रिक्स ई असाइन करते हैं। जॉर्डन परिवर्तनों का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स ए को पहचान मैट्रिक्स ई में कम करते हैं। गणना तालिका 31.1 में दिखाई जाती है।
आइए मूल मैट्रिक्स ए और व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 को गुणा करके गणनाओं की शुद्धता की जांच करें।
मैट्रिक्स गुणन के परिणामस्वरूप, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, गणना सही हैं।
उत्तर: 
मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:
एएक्स = बी, एक्सए = बी, एएक्सबी = सी,
जहाँ A, B, C को आव्यूह दिए गए हैं, X वांछित आव्यूह है।
मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा समीकरण को गुणा करके हल किया जाता है।
उदाहरण के लिए, एक समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।
इसलिए, समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने और समीकरण के दाईं ओर मैट्रिक्स द्वारा गुणा करने की आवश्यकता है।
अन्य समीकरणों को इसी तरह हल किया जाता है।
समीकरण को हल करें एएक्स = बी अगर 
समाधान: चूँकि आव्यूह का व्युत्क्रम बराबर होता है (उदाहरण 1 देखें)
दूसरों के साथ-साथ वे भी आवेदन पाते हैं मैट्रिक्स के तरीके. ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं। इस तरह के तरीकों का उपयोग जटिल और बहुआयामी आर्थिक घटनाओं के विश्लेषण के उद्देश्य से किया जाता है। अधिकतर, इन विधियों का उपयोग तब किया जाता है जब संगठनों के कामकाज और उनके संरचनात्मक विभाजनों की तुलना करना आवश्यक होता है।
मैट्रिक्स विश्लेषण विधियों को लागू करने की प्रक्रिया में, कई चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
पहले चरण मेंआर्थिक संकेतकों की एक प्रणाली का गठन किया जाता है और इसके आधार पर प्रारंभिक डेटा का एक मैट्रिक्स संकलित किया जाता है, जो एक तालिका है जिसमें सिस्टम नंबरों को इसकी अलग-अलग पंक्तियों में दिखाया जाता है (मैं = 1,2,....,एन), और ऊर्ध्वाधर रेखांकन के साथ - संकेतकों की संख्या (जे = 1,2,...., एम).
दूसरे चरण मेंप्रत्येक ऊर्ध्वाधर स्तंभ के लिए, संकेतकों के उपलब्ध मूल्यों में से सबसे बड़ा प्रकट होता है, जिसे एक इकाई के रूप में लिया जाता है।
उसके बाद, इस कॉलम में दिखाई देने वाली सभी राशियों को सबसे बड़े मान से विभाजित किया जाता है और मानकीकृत गुणांकों का एक मैट्रिक्स बनता है।
तीसरे चरण मेंमैट्रिक्स के सभी घटक चुकता हैं। यदि उनका अलग महत्व है, तो मैट्रिक्स के प्रत्येक संकेतक को एक निश्चित भार गुणांक सौंपा गया है क. उत्तरार्द्ध का मूल्य एक विशेषज्ञ द्वारा निर्धारित किया जाता है।
अंत समय पर चौथा चरणरेटिंग के मान मिले आरजेबढ़ने या घटने के क्रम में समूहीकृत।
उपरोक्त मैट्रिक्स विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, कब तुलनात्मक विश्लेषणविभिन्न निवेश परियोजनाओं के साथ-साथ संगठनों के अन्य आर्थिक प्रदर्शन संकेतकों का मूल्यांकन करते समय।
विचार करना रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के संबंध में एनअज्ञात एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :
इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
एस एन मैं = 1 ए आईजे एक्स जे = ख मैं , मैं=1,2, ..., एन.
मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की विचारित प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = ख, कहाँ
आव्यूह ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियां संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व सिस्टम के समीकरणों के सही हिस्से हैं, उन्हें सही हिस्से का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात कहलाते हैं सिस्टम समाधान.
रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = ख, है मैट्रिक्स समीकरण.
यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और फिर सिस्टम का समाधान कुल्हाड़ी = खसूत्र द्वारा दिया गया है:
एक्स = ए -1 बी.
उदाहरणसिस्टम को हल करें 
मैट्रिक्स विधि।
समाधानसिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें
पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:
क्योंकि Δ ≠ 0 , वह ए -1 मौजूद।
उलटा मैट्रिक्स सही पाया जाता है।
आइए सिस्टम का समाधान खोजें 
इस तरह, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .
इंतिहान: 
रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m ।
यहाँ a i j और b i (i =; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को फिर से लिख सकते हैं:
जहां ए = (ए आई जे) मैट्रिक्स है जिसमें सिस्टम के अज्ञात के गुणांक (5.1) शामिल हैं, जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।
संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1 , c 2 ,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संबंधित चर x 1, x 2, ..., x n के बजाय इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T का अस्तित्व है तो AC B.
सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर इसका कम से कम एक समाधान है। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।
,
दाईं ओर मैट्रिक्स ए को मुक्त शर्तों के एक कॉलम को असाइन करके गठित कहा जाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली।
सिस्टम (5.1) की संगतता का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।
क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूहों A और ρA की कोटि संपाती है, अर्थात आर (ए) = आर (ए) = आर।
सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए, तीन संभावनाएँ हैं:
1) एम = (इस मामले में प्रणाली असंगत है);
2) M में एक तत्व होता है, अर्थात सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है कुछ);
3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहलाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।
सिस्टम का केवल एक अद्वितीय समाधान है यदि आर (ए) = एन। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या (mn) से कम नहीं है; यदि m>n, तो m-n समीकरण बाकी के परिणाम हैं। अगर 0 रैखिक समीकरणों की मनमाना प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को ऐसे सिस्टम को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर हो, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n । सिस्टम (5.3) निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किए जाते हैं: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा। उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जाँच करें और इसे संगत होने पर हल करें: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1, एक्स 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0। समाधान।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:
आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का माइनर = 7 0; इसे रखने वाले तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं: इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रैंक 2 है, अर्थात आर (ए) = 2। विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग पर विचार करें इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स का रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A) r(A), सिस्टम असंगत है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दिया जाए, जहां मैट्रिक्स एआयाम है एनपर एनऔर इसका निर्धारक शून्य नहीं है। चूंकि , फिर मैट्रिक्स एउलटा है, यानी एक उलटा मैट्रिक्स है। यदि हम समानता के दोनों पक्षों को बाईं ओर गुणा करते हैं, तो हमें अज्ञात चरों के स्तंभ मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक सूत्र मिलता है। इसलिए हमें मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान मिला। मैट्रिक्स के रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखें: क्योंकि हम मैट्रिक्स तत्वों के बीजगणितीय पूरक के मैट्रिक्स का उपयोग करके एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं ए(यदि आवश्यक हो, उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए आलेख विधियों को देखें): यह गणना करने के लिए बनी हुई है - व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके अज्ञात चर का मैट्रिक्स मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के समाधान खोजने में मुख्य समस्या व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की जटिलता है, विशेष रूप से तीसरे से अधिक क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए। सिद्धांत और अतिरिक्त उदाहरणों के अधिक विस्तृत विवरण के लिए, रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए आलेख मैट्रिक्स विधि देखें। पृष्ठ के सबसे ऊपर मान लीजिए कि हमें सिस्टम से समाधान खोजने की आवश्यकता है एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात चर गॉस पद्धति का सारअज्ञात चरों के क्रमिक बहिष्करण में शामिल हैं: पहला, the एक्स 1
सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके, तब एक्स 2
सभी समीकरणों का, तीसरे से शुरू करते हुए, और इसी तरह, जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल अज्ञात चर ही रहता है एक्स एन. अज्ञात चरों के क्रमिक उन्मूलन के लिए प्रणाली के समीकरणों को बदलने की ऐसी प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गॉस विधि. गॉस पद्धति के आगे बढ़ने के पूरा होने के बाद, पिछले समीकरण से हम पाते हैं एक्स एन, अंतिम समीकरण से इस मान का उपयोग करके गणना की जाती है एक्स एन-1, और इसी तरह, पहले समीकरण से पाया जाता है एक्स 1
. सिस्टम के अंतिम समीकरण से पहले तक जाने पर अज्ञात चर की गणना करने की प्रक्रिया कहलाती है रिवर्स गॉस विधि. अज्ञात चरों को समाप्त करने के लिए एल्गोरिथम का संक्षेप में वर्णन करें। हम मान लेंगे कि , क्योंकि हम हमेशा सिस्टम के समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके इसे प्राप्त कर सकते हैं। अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1
सिस्टम के सभी समीकरणों से, दूसरे से शुरू करके। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पहले समीकरण को गुणा करके जोड़ें, पहले समीकरण को तीसरे समीकरण से गुणा करें, और इसी तरह, एन वेंसे गुणा करके पहला समीकरण जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप ले लेगी यदि हम व्यक्त करते हैं तो हम उसी परिणाम पर पहुंचेंगे एक्स 1
सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के माध्यम से और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया गया। तो चर एक्स 1
दूसरे से शुरू करते हुए, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है। इसके बाद, हम इसी तरह कार्य करते हैं, लेकिन परिणामी प्रणाली के केवल एक हिस्से के साथ, जो आंकड़े में चिह्नित है ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में दूसरे से गुणा करके जोड़ें, दूसरे से गुणा करके चौथे समीकरण में जोड़ें, और इसी तरह, एन वेंसे गुणा करके दूसरा समीकरण जोड़ें। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली रूप ले लेगी अगला, हम अज्ञात के उन्मूलन के लिए आगे बढ़ते हैं एक्स 3
, जबकि हम आकृति में अंकित प्रणाली के भाग के साथ समान रूप से कार्य करते हैं इसलिए हम गॉस पद्धति का सीधा कोर्स तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम फॉर्म नहीं ले लेता इस क्षण से, हम गॉस पद्धति का उल्टा कोर्स शुरू करते हैं: हम गणना करते हैं एक्स एनप्राप्त मूल्य का उपयोग करते हुए अंतिम समीकरण से एक्स एनपाना एक्स एन-1अंतिम समीकरण से, और इसी तरह, हम पाते हैं एक्स 1
पहले समीकरण से। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें अज्ञात चर को हटा दें एक्स 1
सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से। ऐसा करने के लिए, दूसरे और तीसरे समीकरण के दोनों भागों में, हम पहले समीकरण के संबंधित भागों को क्रमशः गुणा और गुणा करके जोड़ते हैं: अब हम तीसरे समीकरण से हटाते हैं एक्स 2
, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को उसके बाएँ और दाएँ भागों में जोड़कर, गुणा करके: इस पर, गॉस पद्धति का अग्रगामी क्रम पूरा हो जाता है, हम विपरीत मार्ग शुरू करते हैं। समीकरणों की परिणामी प्रणाली के अंतिम समीकरण से, हम पाते हैं एक्स 3
: दूसरे समीकरण से हमें मिलता है। पहले समीकरण से हम शेष अज्ञात चर पाते हैं और यह गॉस पद्धति के विपरीत पाठ्यक्रम को पूरा करता है। एक्स 1
= 4, एक्स 2
= 0, एक्स 3
=
-1
. अधिक विस्तृत जानकारी और अतिरिक्त उदाहरणों के लिए, गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्राथमिक प्रणालियों को हल करने पर अनुभाग देखें। पृष्ठ के सबसे ऊपर क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; गॉस विधि; समाधान: क्रोनकर-कैपेली प्रमेय। एक प्रणाली सुसंगत है अगर और केवल अगर इस प्रणाली के मैट्रिक्स का रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, अर्थात। आर(ए)= आर(ए 1), कहाँ सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है: पहली पंक्ति को (से गुणा करें) –3
), और दूसरा ऑन ( 2
); फिर पहली पंक्ति के तत्वों को दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ें; तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएं। परिणामी मैट्रिक्स में, पहली पंक्ति अपरिवर्तित छोड़ दी जाती है। 6
) और दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें: दूसरी पंक्ति को (से गुणा करें) –11
) और तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ें। तीसरी पंक्ति के तत्वों को विभाजित करें ( 10
). आइए मैट्रिक्स निर्धारक खोजें ए. इस तरह, आर(ए)=3
. विस्तारित मैट्रिक्स रैंक आर(ए 1) के बराबर भी है 3
, अर्थात। आर(ए)= आर(ए 1)=3
ँ प्रणाली संगत है। 1) संगतता के लिए प्रणाली की जांच, गॉस विधि द्वारा संवर्धित मैट्रिक्स को रूपांतरित किया गया था। गॉस विधि इस प्रकार है: 1. मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाना, यानी शून्य को मुख्य विकर्ण (आगे बढ़ना) के नीचे होना चाहिए। 2. पिछले समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं एक्स 2, और जानना एक्स 3, एक्स 2उन्हें पहले समीकरण में रखकर, हम पाते हैं एक्स 1(उलट चाल)। आइए गॉस विधि द्वारा परिवर्तित संवर्धित मैट्रिक्स लिखें तीन समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में: Þ एक्स 3 \u003d 1 एक्स 2 = एक्स 3Þ एक्स 3 \u003d 1 2x 1 \u003d 4 + x 2 + x 3Þ 2x 1 =4+1+1Þ Þ 2x 1 = 6 Þ एक्स 1 \u003d 3 .
2) हम क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करते हैं: यदि समीकरणों की प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जो सूत्रों द्वारा पाया जाता है आइए सिस्टम के निर्धारक की गणना करें Δ: क्योंकि निकाय का निर्धारक शून्येतर है, तो क्रेमर नियम के अनुसार निकाय का एक अद्वितीय हल है। हम निर्धारक Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 की गणना करते हैं। वे सिस्टम Δ के निर्धारक से संबंधित कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं। हम सूत्रों का उपयोग करके अज्ञात पाते हैं: उत्तर: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d 1 .
3) हम सिस्टम को मैट्रिक्स कैलकुलस के माध्यम से हल करते हैं, अर्थात, व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके। ए × एक्स = बी Þ एक्स \u003d ए -1 × बी, कहाँ ए -1प्रतिलोम मैट्रिक्स है ए, मुक्त सदस्य स्तंभ, अज्ञात का मैट्रिक्स-स्तंभ। व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: कहाँ डी- मैट्रिक्स निर्धारक ए, और आईजीतत्व a के बीजगणितीय पूरक हैं आईजेमैट्रिक्स ए. डी= 60 (पिछले पैराग्राफ से)। निर्धारक गैर-शून्य है, इसलिए, मैट्रिक्स ए व्युत्क्रमणीय है, और मैट्रिक्स व्युत्क्रम सूत्र (*) द्वारा पाया जा सकता है। आइए सूत्र द्वारा मैट्रिक्स A के सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय जोड़ खोजें: और इज =(-1
)आई+जे म आई. x 1, x 2, x 3 ने प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल दिया, फिर वे सही पाए गए। उदाहरण 6.
गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें और सिस्टम के कोई दो बुनियादी समाधान खोजें।
.
मैट्रिक्स विधि (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
मैट्रिक्स विधि।
तब SLAE को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल किया जा सकता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके, इस प्रणाली का समाधान इस प्रकार पाया जा सकता है 
.
मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स-कॉलम पर (यदि आवश्यक हो, मेट्रिसेस पर संचालन पर आलेख देखें): 
या किसी अन्य प्रविष्टि में एक्स 1
= 4, एक्स 2
= 0, एक्स 3
= -1
.गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है।
जहाँ एक 
.
जहाँ एक 
. तो चर एक्स 2
तीसरे से शुरू करते हुए, सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।
गॉसियन विधि।
"
