किसी दोलनशील पिंड के विस्थापन की समय पर निर्भरता। हार्मोनिक कंपन

हार्मोनिक दोलन किसी भी मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा सामंजस्यपूर्ण रूप से दोलन करती है और समय के साथ निम्नानुसार बदलती है:

जहां x बदलती मात्रा का मान है, t समय है, शेष पैरामीटर स्थिर हैं: A दोलनों का आयाम है, ω दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है, दोलनों का पूर्ण चरण है, दोलनों का प्रारंभिक चरण है।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(इस अंतर समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)

कंपन के प्रकार

सिस्टम को उसकी संतुलन स्थिति से हटा दिए जाने के बाद सिस्टम की आंतरिक शक्तियों के प्रभाव में मुक्त कंपन होता है। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय न हो (बाद वाला क्षीणन का कारण होगा)।

जबरन कंपन किसी बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में होता है। उनके हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि दोलन प्रणाली रैखिक है (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक दोलन के रूप में बदलता है (अर्थात, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

हार्मोनिक समीकरण

समय t पर उतार-चढ़ाव वाले मान S की निर्भरता देता है; यह स्पष्ट रूप में मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण है। हालाँकि, आमतौर पर दोलनों के समीकरण को विभेदक रूप में, इस समीकरण के एक अलग प्रतिनिधित्व के रूप में समझा जाता है। निश्चितता के लिए, आइए हम समीकरण (1) को रूप में लें

आइए इसे समय में दो बार अलग करें:

यह देखा जा सकता है कि निम्नलिखित संबंध है:

जिसे मुक्त हार्मोनिक दोलनों का समीकरण (विभेदक रूप में) कहा जाता है। समीकरण (1) अवकल समीकरण (2) का समाधान है। चूँकि समीकरण (2) एक दूसरे क्रम का विभेदक समीकरण है, पूर्ण समाधान प्राप्त करने के लिए दो प्रारंभिक स्थितियाँ आवश्यक हैं (अर्थात, समीकरण (1) में शामिल स्थिरांक ए और   का निर्धारण करना); उदाहरण के लिए, t = 0 पर दोलन प्रणाली की स्थिति और गति।

एक गणितीय पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें गुरुत्वाकर्षण बलों के एक समान क्षेत्र में भार रहित अवितानीय धागे पर या भार रहित छड़ पर स्थित एक भौतिक बिंदु होता है। लंबाई l के गणितीय पेंडुलम के छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि, मुक्त गिरावट त्वरण g के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित है, बराबर है

और पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक ठोस शरीर है जो किसी बिंदु के सापेक्ष किसी भी बल के क्षेत्र में दोलन करता है जो इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की कार्रवाई की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और नहीं इस पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरना।

हार्मोनिक कंपन का समीकरण

हार्मोनिक दोलन का समीकरण समय पर शरीर के निर्देशांक की निर्भरता स्थापित करता है

प्रारंभिक क्षण में कोसाइन ग्राफ का अधिकतम मान होता है, और प्रारंभिक क्षण में साइन ग्राफ का शून्य मान होता है। यदि हम संतुलन स्थिति से दोलन की जांच करना शुरू करते हैं, तो दोलन एक साइनसॉइड को दोहराएगा। यदि हम अधिकतम विचलन की स्थिति से दोलन पर विचार करना शुरू करें, तो दोलन को कोसाइन द्वारा वर्णित किया जाएगा। या ऐसे दोलन को प्रारंभिक चरण के साथ साइन सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हार्मोनिक दोलन के दौरान गति और त्वरण में परिवर्तन

न केवल शरीर का समन्वय समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है। लेकिन बल, गति और त्वरण जैसी मात्राएँ भी समान रूप से बदलती हैं। बल और त्वरण तब अधिकतम होते हैं जब दोलन करने वाला शरीर चरम स्थिति पर होता है जहां विस्थापन अधिकतम होता है, और जब शरीर संतुलन स्थिति से गुजरता है तो शून्य होता है। इसके विपरीत, चरम स्थिति में गति शून्य होती है, और जब शरीर संतुलन स्थिति से गुजरता है, तो यह अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है।

यदि दोलन को कोसाइन के नियम द्वारा वर्णित किया गया है

यदि दोलन का वर्णन साइन नियम के अनुसार किया जाता है

अधिकतम गति और त्वरण मान

निर्भरता v(t) और a(t) के समीकरणों का विश्लेषण करने के बाद, हम अनुमान लगा सकते हैं कि गति और त्वरण उस स्थिति में अधिकतम मान लेते हैं जब त्रिकोणमितीय कारक 1 या -1 के बराबर होता है। सूत्र द्वारा निर्धारित किया गया है

दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक कंपन- दोलन जिसमें संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है।

इस प्रकार, एक वृत्त में गेंद के एकसमान घुमाव के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन पर एक हार्मोनिक दोलन गति करता है (चित्र 1)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन स्थिति से विस्थापन को एक समीकरण (इसे हार्मोनिक गति का गतिज नियम कहा जाता है) द्वारा वर्णित किया गया है:

जहां x विस्थापन है - एक मात्रा जो संतुलन स्थिति के सापेक्ष समय t पर दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाती है और एक निश्चित समय पर संतुलन स्थिति से बिंदु की स्थिति तक की दूरी से मापी जाती है; ए - दोलनों का आयाम - संतुलन स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी - दोलन की अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। समय की सबसे छोटी अवधि जिसके बाद दोलन को चिह्नित करने वाली भौतिक मात्राओं के मान दोहराए जाते हैं; - पहला भाग;

समय टी पर दोलन चरण। दोलन चरण एक आवधिक कार्य का एक तर्क है, जो किसी दिए गए दोलन आयाम के लिए, किसी भी समय शरीर की दोलन प्रणाली (विस्थापन, गति, त्वरण) की स्थिति निर्धारित करता है।

यदि समय के प्रारंभिक क्षण में दोलन बिंदु संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापित हो जाता है, तो, और संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

यदि दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदलता है

मान V, अवधि का व्युत्क्रम और 1 s में पूर्ण पूर्ण दोलनों की संख्या के बराबर, दोलन आवृत्ति कहलाता है:

यदि समय t के दौरान शरीर N पूर्ण दोलन करता है, तो

आकार यह दर्शाना कि कोई वस्तु s में कितने दोलन करती है, कहलाती है चक्रीय (परिपत्र) आवृत्ति.

हार्मोनिक गति का गतिक नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ग्राफ़िक रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता को कोसाइन तरंग (या साइन तरंग) द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्र 2, मामले के लिए संतुलन स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है।

आइए जानें कि समय के साथ एक दोलन बिंदु की गति कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

x-अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

यह सूत्र दर्शाता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स-अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी एक हार्मोनिक कानून के अनुसार एक ही आवृत्ति के साथ, एक अलग आयाम के साथ बदलता है और चरण में विस्थापन से आगे होता है (चित्र 2, बी) ).

त्वरण की निर्भरता को स्पष्ट करने के लिए, हम वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

हार्मोनिक दोलनों के साथ, त्वरण प्रक्षेपण k (छवि 2, सी) द्वारा चरण विस्थापन से आगे है।

साइनसोइडल नियम के अनुसार समय के साथ बदलता रहता है:

कहाँ एक्स- समय के क्षण में उतार-चढ़ाव वाली मात्रा का मूल्य टी, ए- आयाम, ω - वृत्ताकार आवृत्ति, φ — दोलन का प्रारंभिक चरण, ( φt + φ ) - दोलनों का पूरा चरण। साथ ही, मूल्यों ए, ω और φ - स्थायी।

उतार-चढ़ाव वाले परिमाण के यांत्रिक कंपन के लिए एक्सविशेष रूप से, विद्युत कंपन के लिए विस्थापन और गति - वोल्टेज और करंट हैं।

हार्मोनिक दोलन सभी प्रकार के दोलनों के बीच एक विशेष स्थान रखते हैं, क्योंकि यह एकमात्र प्रकार का दोलन है जिसका आकार किसी भी सजातीय माध्यम से गुजरने पर विकृत नहीं होता है, अर्थात, हार्मोनिक दोलनों के स्रोत से फैलने वाली तरंगें भी हार्मोनिक होंगी। किसी भी गैर-हार्मोनिक दोलन को विभिन्न हार्मोनिक दोलनों के योग (अभिन्न) के रूप में दर्शाया जा सकता है (हार्मोनिक दोलनों के एक स्पेक्ट्रम के रूप में)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन।

दोलन प्रक्रिया के दौरान, संभावित ऊर्जा हस्तांतरण होता है Wpगतिज को सप्तऔर इसके विपरीत। संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन की स्थिति में स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है, गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जैसे-जैसे यह संतुलन स्थिति में लौटता है, दोलन करने वाले पिंड की गति बढ़ जाती है, और इसके साथ गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है, जो संतुलन स्थिति में अधिकतम तक पहुंच जाती है। स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। आगे की गति गति में कमी के साथ होती है, जो विक्षेपण के दूसरे अधिकतम तक पहुंचने पर शून्य हो जाती है। यहां स्थितिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक (अधिकतम) मान (घर्षण की अनुपस्थिति में) तक बढ़ जाती है। इस प्रकार, गतिज और संभावित ऊर्जाओं के दोलन दोगुनी आवृत्ति के साथ होते हैं (पेंडुलम के दोलनों की तुलना में) और एंटीफ़ेज़ में होते हैं (यानी, उनके बीच एक चरण बदलाव होता है) π ). कुल कंपन ऊर्जा डब्ल्यूअपरिवर्तित। एक लोचदार बल की कार्रवाई के तहत दोलन करने वाले शरीर के लिए, यह बराबर है:

कहाँ वी एम- शरीर की अधिकतम गति (संतुलन स्थिति में), एक्स एम = ए- आयाम.

माध्यम के घर्षण और प्रतिरोध की उपस्थिति के कारण, मुक्त कंपन क्षीण हो जाते हैं: समय के साथ उनकी ऊर्जा और आयाम कम हो जाते हैं। इसलिए, व्यवहार में, मजबूर दोलनों का उपयोग मुक्त दोलनों की तुलना में अधिक बार किया जाता है।

कंपन के बारे में सामान्य जानकारी

अध्याय 6 दोलन गति

दोलनोंऐसी प्रक्रियाएँ जो दोहराव की अलग-अलग डिग्री में भिन्न होती हैं, प्रक्रियाएँ कहलाती हैं।

दोहराव की यह संपत्ति होती है, उदाहरण के लिए, घड़ी के पेंडुलम के झूलने से, ट्यूनिंग कांटा के तार या पैरों के कंपन से, रेडियो रिसीवर सर्किट में संधारित्र की प्लेटों के बीच वोल्टेज आदि से।

दोहराई जाने वाली प्रक्रिया की भौतिक प्रकृति के आधार पर, कंपन को प्रतिष्ठित किया जाता है:

- यांत्रिक;

- विद्युत चुम्बकीय;

- इलेक्ट्रोमैकेनिकल, आदि।

दोलन प्रणाली पर प्रभाव की प्रकृति के आधार पर, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जाता है:

- मुफ़्त (या अपना);

– मजबूर;

– स्व-दोलन;

- पैरामीट्रिक दोलन.

मुक्तया अपनाऐसे दोलन कहलाते हैं जो किसी प्रणाली में धक्का देने या उसे संतुलन की स्थिति से बाहर लाने के बाद अपने आप छोड़ दिए जाते हैं। एक उदाहरण एक धागे (पेंडुलम) पर लटकी हुई गेंद का दोलन है।

मजबूरऐसे दोलन कहलाते हैं, जिसके दौरान दोलन प्रणाली समय-समय पर बदलते बाहरी बल के संपर्क में आती है।

स्व-दोलनदोलन प्रणाली पर बाहरी ताकतों के प्रभाव के साथ होते हैं, हालाँकि, समय के वे क्षण जब ये प्रभाव होते हैं, दोलन प्रणाली द्वारा ही निर्धारित होते हैं - सिस्टम स्वयं बाहरी प्रभाव को नियंत्रित करता है। स्व-दोलन प्रणाली का एक उदाहरण एक घड़ी है जिसमें पेंडुलम को उठाए गए वजन या मुड़े हुए स्प्रिंग की ऊर्जा के कारण झटके लगते हैं, और ये झटके उस समय लगते हैं जब पेंडुलम मध्य स्थिति से गुजरता है।

पर पैरामीट्रिकदोलनों में, बाहरी प्रभावों के कारण, सिस्टम के कुछ मापदंडों में आवधिक परिवर्तन होता है, उदाहरण के लिए, पेंडुलम धागे की लंबाई।

सबसे सरल हैं हार्मोनिक कंपन, यानी ऐसे दोलन जिनमें दोलन मात्रा (उदाहरण के लिए, एक पेंडुलम का विक्षेपण) समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदल जाती है।

दोलन गतियों में सबसे महत्वपूर्ण तथाकथित सरल या हार्मोनिक दोलन गति है।

इस तरह के आंदोलन की प्रकृति को निम्नलिखित गतिज मॉडल का उपयोग करके सबसे अच्छी तरह से प्रकट किया गया है। आइए मान लें कि ज्यामितीय बिंदु एमत्रिज्या a के एक वृत्त के चारों ओर स्थिर कोणीय वेग से समान रूप से घूमता है (चित्र 6.1)। उसका प्रक्षेपण एनप्रति व्यास, उदाहरण के लिए प्रति धुरी एक्स, एक चरम स्थिति से दूसरे चरम स्थिति तक और वापस दोलनशील गति करेगा। ऐसा बिंदु दोलन एनसरल या हार्मोनिक कंपन कहा जाता है।

इसका वर्णन करने के लिए, आपको निर्देशांक ढूंढना होगा एक्सअंक एनसमय के एक कार्य के रूप में टी. आइए मान लें कि समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ त्रिज्या OM बनी एक्सकोना । समय t के बाद यह कोण बढ़कर बराबर हो जायेगा। चित्र से. 6.1. यह स्पष्ट है कि

. (6.1)

यह सूत्र किसी बिंदु की हार्मोनिक दोलन गति का विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन करता है एनव्यास के साथ.

परिमाण एसंतुलन स्थिति से दोलन बिंदु का अधिकतम विचलन देता है। यह कहा जाता है आयामउतार-चढ़ाव. मान 0 कहा जाता है चक्रीय आवृत्ति. मात्रा कहलाती है चरणदोलन, और इसका मान, यानी परिमाण - प्राथमिकचरण। समय बीत जाने के बाद

चरण में वृद्धि होती है, और दोलन बिंदु गति की प्रारंभिक दिशा को बनाए रखते हुए अपनी मूल स्थिति में लौट आता है। समय टीदोलन काल कहा जाता है।

दोलन बिंदु की गति को समय के संबंध में अभिव्यक्ति (6.1) में अंतर करके पाया जा सकता है। यह देता है

दूसरी बार अंतर करने पर हमें त्वरण प्राप्त होता है

या, (6.1) का उपयोग करते हुए,

हार्मोनिक कंपन के दौरान किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाला बल बराबर होता है

. (6.6)

यह विचलन x के समानुपाती होता है और इसकी दिशा विपरीत होती है। यह सदैव संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है।

आइए एक स्प्रिंग पर भार के हार्मोनिक दोलनों पर विचार करें, जिसका एक सिरा स्थिर है, और द्रव्यमान का एक पिंड दूसरे से निलंबित है एम(चित्र 6.2)। मान लीजिए कि विकृत स्प्रिंग की लंबाई है। यदि किसी स्प्रिंग को लम्बाई तक खींचा या दबाया जाता है एल, तब बल उत्पन्न होता है एफ, शरीर को संतुलन की स्थिति में वापस लाने की कोशिश करना। छोटे हिस्सों के लिए यह मान्य है हुक का नियम- बल स्प्रिंग के खिंचाव के समानुपाती होता है:। इन परिस्थितियों में पिंड की गति के समीकरण का रूप होता है

स्थिर कबुलाया गुणकस्प्रिंग की लोच या कठोरता। ऋण चिह्न का अर्थ है कि शक्ति एफविस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित एक्स, यानी संतुलन की स्थिति के लिए।

समीकरण (6.7) निकालते समय, यह माना गया कि कोई अन्य बल शरीर पर कार्य नहीं करता है। आइए हम दिखाते हैं कि समान समीकरण एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक स्प्रिंग पर निलंबित पिंड की गति को नियंत्रित करता है। इस मामले में हम अक्षर द्वारा निरूपित करते हैं एक्सवसंत का बढ़ाव, यानी अंतर। स्प्रिंग भार को बल से ऊपर की ओर खींचता है, और गुरुत्वाकर्षण बल उसे नीचे खींचता है। गति के समीकरण का रूप है

आइए संतुलन स्थिति में स्प्रिंग के बढ़ाव को निरूपित करें। तब . वजन को छोड़कर, हमें मिलता है . हम संकेतन का उपयोग करते हैं, तो गति का समीकरण वही रूप (6.7) ले लेगा। मान x का अर्थ अभी भी संतुलन स्थिति से भार का विस्थापन है। हालाँकि, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में संतुलन की स्थिति बदल जाती है। इसके अलावा, गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में मात्रा का अर्थ बदल जाता है। अब इसका मतलब है स्प्रिंग के तनाव बलों और भार के भार का परिणाम। लेकिन यह सब प्रक्रिया के गणितीय पक्ष को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए, कोई ऐसा तर्क कर सकता है मानो गुरुत्वाकर्षण था ही नहीं। हम यही करेंगे.

परिणामी बल का रूप अभिव्यक्ति (6.6) में बल के समान है। यदि हम सेट करें तो समीकरण (6.7) बन जाता है

. (6.8)

यह समीकरण समीकरण (6.5) से मेल खाता है। फ़ंक्शन (6.1) स्थिरांक के किसी भी मान के लिए ऐसे समीकरण का एक समाधान है एऔर ए. यह सामान्य समाधान है. ऊपर से यह निष्कर्ष निकलता है कि स्प्रिंग पर भार एक गोलाकार आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करेगा

और अवधि

. (6.10)

समीकरण (6.8) द्वारा वर्णित दोलन हैं मुक्त(या अपना).

किसी पिंड की स्थितिज और गतिज ऊर्जाएँ भावों द्वारा दी जाती हैं

. (6.11)

उनमें से प्रत्येक समय के साथ बदलता है। हालाँकि, उनकी राशि इसमय के साथ स्थिर रहना चाहिए:

(6.12)

यहां बताई गई हर बात एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ किसी भी यांत्रिक प्रणाली के हार्मोनिक कंपन पर लागू होती है। एक डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक यांत्रिक प्रणाली की तात्कालिक स्थिति किसी एक मात्रा का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है क्यू, जिसे सामान्यीकृत निर्देशांक कहा जाता है, उदाहरण के लिए, घूर्णन का कोण, एक निश्चित रेखा के साथ विस्थापन, आदि। समय के संबंध में सामान्यीकृत समन्वय के व्युत्पन्न को सामान्यीकृत गति कहा जाता है। स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ यांत्रिक प्रणालियों के दोलनों पर विचार करते समय, प्रारंभिक के रूप में न्यूटन की गति के समीकरण को नहीं, बल्कि ऊर्जा समीकरण को लेना अधिक सुविधाजनक होता है। आइए मान लें कि यांत्रिक प्रणाली ऐसी है कि इसकी संभावित और गतिशील ऊर्जा फॉर्म के सूत्रों द्वारा व्यक्त की जाती है

, (6.14)

जहाँ d और b धनात्मक स्थिरांक (सिस्टम पैरामीटर) हैं। तब ऊर्जा संरक्षण का नियम समीकरण की ओर ले जाता है

. (6.15)

यह समीकरण (6.12) से केवल अंकन में भिन्न है, जो गणितीय रूप से विचार करने पर कोई मायने नहीं रखता। समीकरणों (6.12) और (6.15) की गणितीय पहचान से यह पता चलता है कि उनके सामान्य समाधान समान हैं। इसलिए, यदि ऊर्जा समीकरण को (6.15) के रूप में घटा दिया जाए, तो

, (6.16)

यानी सामान्यीकृत समन्वय क्यूएक वृत्ताकार आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन करता है